4.2 Koördinaatmeetkunde

Koördinaatmeetkunde

Die vergelyking van 'n lyn tussen twee punte

Daar is verskeie gegewens en metodes wat dit moontlik maak om die vergelyking van 'n reguit lyn te bepaal. Een so 'n metode word gebruik wanneer twee punte byvoorbeeld gegee word.

Aanvaar die twee punte is onderskeidelik $(x_1;y_1)$ en $(x_2;y_2)$ . Ons weet ook die algemene vorm vir die vergelyking van 'n reguit lyn is:

Die vergelyking van 'n lyn wat deur hierdie twee punte gaan, kan eers verkry word as ons die waardes van $m$ (die gradiënt van die lyn) en $c$ (die $y$ -afsnit van die lyn) het. Gevolglik is die vergelyking:

waar $(x_1;y_1)$ die koördinate van die gegewe punte is.

Die tweede vergelyking van 'n reguit lyn

'n Stel gelyktydige vergelykings kan soos volg geskryf word:

Ons het nou twee vergelykings en twee onbekendes, naamlik $m$ en $c$ .

Nou, om dinge bietjie makliker te maak, vervang [link] in [link] :

Byvoorbeeld, die vergelyking van 'n reguit lyn deur $(-1;1)$ en $(2;2)$ word verkry deur eers $m$ te bereken:

Hierdie waarde word dan vervang in:

om sodoende die volgende te verkry:

Vervang nou $(-1;1)$ om te kry dat:

So, $y=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$ gaan deur $(-1;1)$ en $(2;2)$ .

Vergelyking van 'n lyn parallel aan, of loodreg op, 'n ander lyn, gegee een punt

Nog 'n metode om die vergelyking van 'n reguit lyn te bepaal, kan gebruik word, gegee 'n punt op die lyn se koördinate, $(x_1;y_1)$ , en wanneer daar uitdruklik gesê word die lyn is loodreg op, of parallel aan, 'n ander lyn. Indien die vergelykings van die onbekende en gegewe lyne onderskeidelik $y=mx+c$ en $y=m_{0}x+c_0$ is, weet ons die volgende:

Sodra ons 'n waarde vir $m$ bepaal het, kan ons hierdie waarde gebruik tesame met:

om die vergelyking van die lyn te bepaal.

Byvoorbeeld, bepaal die vergelyking van 'n lyn wat parallel is aan $y=2x-1$ en wat deur die punt $(-1;1)$ gaan.

Eerstens kry ons vir $m$ , die gradiënt van die lyn. Aangesien dié lyn parallel aan $y=2x-1$ is, weet ons dat:

Die vergelyking van die lyn word gevind deur $m$ en $(-1;1)$ te vervang in:

Hellingshoek

In [link] (a), sien ons dat die lyn 'n hoek $\theta$ maak met die $x$ -as. Hierdie hoek staan bekend as die hellingshoek van die lyn en is soms van belang.

Eerstens sien ons dat, soos die gradiënt verander, verander die waarde van $\theta$ ( [link] (b)). Ons verwag dus dat daar 'n verwandskap bestaan tussen die hellingshoek van 'n lyn en die gradiënt. Ons weet ook dat die gradiënt 'n verhouding van verandering in die $y$ -rigting tot verandering in die $x$ -rigting is.

In [link] (a) sien ons egter:

Byvoorbeeld, om die hellingshoek van die lyn $y=x$ te bepaal, weet ons dat $m=1$

Koördinaatmeetkunde

1. Bepaal die vergelykings van die volgende lyne.
   1. deur punte $(-1;3)$ en $(1;4)$
   2. deur punte $(7;-3)$ en $(0;4)$
   3. parallel aan $y=\frac{1}{2}x+3$ en deur $(-1;3)$
   4. loodreg op $y=-\frac{1}{2}x+3$ en deur $(-1;2)$
   5. loodreg op $2y+x=6$ en deur die oorsprong
2. Bepaal die hellingshoek van die volgende lyne.
   1. $y=2x-3$
   2. $y=\frac{1}{3}x-7$
   3. $4y=3x+8$
   4. $y=-\frac{2}{3}x+3$ (Wenk: as $m$ negatief is, sal $\theta$ in die tweede kwadrant wees)
   5. $3y+x-3=0$
3. Wys dat die lyn $y=k$ parallel is aan die x-as vir enige konstante $k$ . (Wenk: Wys dat die hellingshoek van die lyn $0^{\circ }$ is.)
4. Wys dat die lyn $x=k$ parallel is aan die y-as vir enige konstante $k$ . (Wenk: Wys dat die hellingshoek van die lyn ${90}^{\circ }$ is.)