4.3 Transformasies

Transformasies

Rotasie om 'n punt

Wanneer 'n voorwerp rondom 'n vaste punt beweeg word, gebruik ons die term rotasie om die punt. Wat gebeur met die koördinate van 'n punt wanneer daardie voorwerp om 'n punt van ${90}^{\circ }$ of ${180}^{\circ }$ om die oorsprong roteer word?

Ondersoek: roteer 'n punt deur die oorsprong deur ${90}^{\circ }$

Voltooi die tabel deur die koördinate van die punte wat in die figuur vertoon word, in te vul.

Figuur

Wat let jy op van die $x$ -koördinate? Wat let jy op van die $y$ -koördinate? Wat sal gebeur met die koördinate van punt A as dit na die posisie van punt C roteer word? Wat sal gebeur as die koördinate van punt B roteer word tot die posisie van D?

Ondersoek: rotasie deur die oorsprong deur ${180}^{\circ }$

Voltooi die tabel deur die koördinate wat in die figuur vertoon word, in te vul.

Figuur

Wat let jy op van die $x$ -koördinate? Wat let jy op van die $y$ -koördinate? Wat sal gebeur met die koördinate van punt A as dit na die posisie van punt E roteer word? Wat sal gebeur met die koördinate van punt F as dit na die posisie van punt B roteer word?

Die volgende gevolgtrekkings kan vanuit die vorige aktiwiteite gemaak word:

• 90 ${}^{\circ }$ kloksgewyse rotasie: Die beeld van 'n punt P $(x;y)$ wat kloksgewys geroteer is deur 90 ${}^{\circ }$ om die oorsprong is P' $(y;-x)$ . Ons druk die rotasie uit as $(x;y)\to (y;-x)$ .
• 90 ${}^{\circ }$ antikloksgewyse rotasie: Die beeld van 'n punt P $(x;y)$ wat antikloksgewys geroteer is deur 90 ${}^{\circ }$ om die oorsprong is P' $(-y;x)$ . Ons druk die rotasie uit as $(x;y)\to (-y;x)$ .
• 180 ${}^{\circ }$ rotasie: Die beeld van 'n punt P $(x;y)$ wat geroteer word deur 180 ${}^{\circ }$ om die oorsprong is P' $(-x;-y)$ . Ons druk die rotasie uit as $(x;y)\to (-x;-y)$ .

Figuur

Figuur

Figuur

Rotasie

1. Doen die volgende vir elke rotasie om die oorsprong: (i) Skryf die toepaslike reël neer.(ii) Teken 'n diagram wat die rigting van die rotasie aandui.
   1. OA word geroteer na OA ${}^{\text{'}}$ met A(4;2) en A ${}^{\text{'}}$ (-2;4)
   2. OB word geroteer na OB ${}^{\text{'}}$ met B(-2;5) en B ${}^{\text{'}}$ (5;2)
   3. OC word geroteer na OC ${}^{\text{'}}$ met C(-1;-4) en C ${}^{\text{'}}$ (1;4)
2. Kopieer $\Delta$ XYZ op grafiekpapier. Die koördinate word op die figuur aangedui.
   1. Roteer $\Delta$ XYZ antikloksgewys deur 'n hoek van 90 ${}^{\circ }$ om die oorsprong om die volgende te kry $\Delta$ X ${}^{\text{'}}$ Y ${}^{\text{'}}$ Z ${}^{\text{'}}$ . Dui die koördinate van X ${}^{\text{'}}$ , Y ${}^{\text{'}}$ en Z ${}^{\text{'}}$ aan.
   2. Roteer $\Delta$ XYZ deur 180 ${}^{\circ }$ om die oorsprong om die volgende te kry $\Delta$ X ${}^{\text{'}}$ ${}^{\text{'}}$ Y ${}^{\text{'}}$ ${}^{\text{'}}$ Z ${}^{\text{'}}$ ${}^{\text{'}}$ . Dui die koördinate van X ${}^{\text{'}}$ ${}^{\text{'}}$ , Y ${}^{\text{'}}$ ${}^{\text{'}}$ en Z ${}^{\text{'}}$ ${}^{\text{'}}$ aan.

   Figuur

Vergroting van 'n veelhoek

Wanneer 'n voorwerp groter word, noem ons die resultaat 'n vergroting van die oorspronklike voorwerp. Wat gebeur met die koördinate van 'n veelhoek wat vergroot is met 'n faktor $k$ ?

Ondersoek: vergroting van 'n veelhoek 1

Voltooi die tabel deur die koördinate van die punte wat in die figuur aangedui is, in te vul. Aanvaar dat elke klein vierkant op die grafiekpapier 1 eenheid voorstel.

Figuur

Wat let jy op van die $x$ -koördinate ? Wat let jy op van die $y$ -koördinate ? Wat sal gebeur met die koördinate van punt A as die vierkant ABCD vergroot sal word met die faktor 2?

Ondersoek: vergroting van 'n veelhoek 2

Figuur

In die figuur is die vierhoek HIJK vergroot met die faktor van 2 deur die oorsprong om H'I'J'K' te vorm. Voltooi die volgende tabel deur gebruik te maak van die inligting wat in die figuur gegee word.

Watter gevolgtrekkings kan jy nou maak omtrent die volgende:

1. die koördinate
2. die lengtes wanneer daar vergroot word met die faktor van 2?

Die volgende gevolgtrekkings kan gemaak word:

Laat die hoekpunte van 'n driehoek die volgende koördinate hê S $(x_1;y_1)$ , T $(x_2;y_2)$ , U $(x_3;y_3)$ . $▵$ S'T'U' is 'n vergroting deur die oorsprong van $▵$ STU met 'n faktor van $c$ ( $c>0$ ).

• $▵$ STU is 'n vermindering van $▵$ S'T'U' met 'n faktor van $c$ .
• $▵$ S'T'U' kan andersins ook gesien word as 'n vermindering deur die oorsprong van $▵$ STU met die faktor van $\frac{1}{c}$ . (Let op dat 'n vermindering met $\frac{1}{c}$ dieselfde is as 'n vergroting van $c$ ).
• Die hoekpunte van $▵$ S'T'U' is S' $(c{x}_1;c{y}_1)$ , T' $(c{x}_2,c{y}_2)$ , U' $(c{x}_3,c{y}_3)$ .
• Die afstande van die oorsprong is OS' = $c$ OS, OT' = $c$ OT en OU' = $c$ OU.

Figuur

Transformasies

1. Kopieër veelhoek STUV op grafiekpapier en beantwoord die volgende vrae.

   Figuur

   1. Wat is die koördinate van veelhoek STUV?
   2. Vergroot die veelhoek deur die oorsprong met 'n konstante faktor van $c=2$ . Teken hierdie op dieselfde assestelsel op jou grafiekpapier. Benoem dit S'T'U'V'.
   3. Wat is die koördinate van die hoekpunte S'T'U'V'?
2. $▵$ ABC is 'n vergroting van $▵$ A'B'C' met 'n konstante faktor van $k$ deur die oorsprong.
   1. Wat is koördinate van die hoekpunte van $▵$ ABC en $▵$ A'B'C'?
   2. Bereken, met redes, die waarde van $k$ .
   3. As die oppervlakte $▵$ ABC $m$ keer die oppervlakte van $▵$ A'B'C', wat is $m$ ?

   Figuur

3. Figuur

   1. Wat is die koördinate van die hoekpunte van die veelhoek MNPQ?
   2. Vergroot die veelhoek deur die oorsprong deur gebruik te maak van die konstante faktor van $c=3$ sodat jy veelhoek M'N'P'Q' kry. Teken hierdie op dieselfde assestelsel.
   3. Wat is die koördinate van die nuwe hoekpunte?
   4. Teken nou M”N”P”Q” wat 'n antikloksgewyse rotasie van MNPQ deur 90 ${}^{\circ }$ deur die oorsprong is.
   5. Wat is die helling van OM”.