4.1 Meer produkte

Siyavula textbooks: wiskunde Page 1 / 1

Inleiding

In hierdie hoofstuk sal jy leer hoe om met algebraïese uitdrukkings te werk. Hersiening van vorige faktorisering en vermenigvuldiging van uitdrukkings sal dus nodig wees voordat die nuwe leerstof uitgebrei word vir Graad 10.

Hersiening van vorige werk

Die volgende behoort bekend te wees, maar ons gee 'n paar voorbeelde ter herinnering.

Dele van uitdrukkings

Wiskundige uitdrukkings is soos sinne en elke deel het 'n spesifieke naam. Jy behoort vertroud te wees met die volgende name wat die dele van wiskundige uitdrukkings beskryf.

\begin{matrix} a \cdot x^{k} + b \cdot x + c^{m} = 0 \\ d \cdot y^{p} + e \cdot y + f \leq 0 \end{matrix}

Naam	Voorbeelde (geskei deur kommas)
term	$a \cdot x^{k}$ , $b \cdot x$ , $c^{m}$ , $d \cdot y^{p}$ , $e \cdot y$ , $f$
uitdrukking	$a \cdot x^{k} + b \cdot x + c^{m}$ , $d \cdot y^{p} + e \cdot y + f$
koëffisiënte	$a$ , $b$ , $d$ , $e$
eksponent (of indeks)	$k$ , $p$
grondtal	$x$ , $y$ , $c$
konstante	$a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$
veranderlike	$x$ , $y$
vergelyking	$a \cdot x^{k} + b \cdot x + c^{m} = 0$
ongelykheid	$d \cdot y^{p} + e \cdot y + f \leq 0$
binomiaal	uitdrukking met twee terme
trinomiaal	uitdrukking met drie terme

Produk van twee binomiale

'n Binomiaal is 'n wiskundige uitdrukking met twee terme, soos $(a x + b)$ en $(c x + d)$ . As hierdie twee binomiale vermenigvuldig word, is die volgende die resultaat:

\begin{matrix} (a \cdot x + b) (c \cdot x + d) & = & (a x) (c \cdot x + d) + b (c \cdot x + d) \\ = & (a x) (c x) + (a x) d + b (c x) + b \cdot d \\ = & a x^{2} + x (a d + b c) + b d \end{matrix}

Vind die produk van $(3 x - 2) (5 x + 8)$ .

Vermenigvuldig uit en vereenvoudig
$\begin{matrix} (3 x - 2) (5 x + 8) & = & (3 x) (5 x) + (3 x) (8) + (- 2) (5 x) + (- 2) (8) \\ = & 15 x^{2} + 24 x - 10 x - 16 \\ = & 15 x^{2} + 14 x - 16 \end{matrix}$
.

Die produk van twee identiese binomiale, is bekend as die kwadraat (of vierkant) van binomiale en word geskryf as:

{(a x + b)}^{2} = a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}

Gestel die twee terme is $a x + b$ en $a x - b$ , dan is hulle produk:

(a x + b) (a x - b) = a^{2} x^{2} - b^{2}

Dit staan bekend as die verskil van twee kwadrate (of vierkante) .

Faktorisering

Faktorisering is die omgekeerde proses van die uitbreiding van hakies. Byvoorbeeld, as hakies uitgebrei word, word $2 (x + 1)$ geskryf as $2 x + 2$ . Faktorisering sal dus begin met $2 x + 2$ en eindig met $2 (x + 1)$ . In vorige grade het ons gefaktoriseer deur die uithaal van gemeenskaplike faktore en die verskil tussen twee vierkante.

Gemeenskaplike faktore

Faktorisering deur die uithaal van gemeenskaplike faktore, is gebaseer daarop dat daar faktore is wat in al die terme voorkom. Byvoorbeeld, $2 x - 6 x^{2}$ kan as volg gefaktoriseer word:

2 x - 6 x^{2} = 2 x (1 - 3 x)

Ondersoek: gemeenskaplike faktore

Vind die grootste gemene faktore van die volgende pare terme:

(a) $6 y; 18 x$	(b) $12 m n; 8 n$	(c) $3 s t; 4 s u$	(d) $18 k l; 9 k p$	(e) $a b c; a c$
(f) $2 x y; 4 x y z$	(g) $3 u v; 6 u$	(h) $9 x y; 15 x z$	(i) $24 x y z; 16 y z$	(j) $3 m; 45 n$

Verskil van twee kwadrate

Ons het gesien dat:

(a x + b) (a x - b) = a^{2} x^{2} - b^{2}

In [link] dui die = teken aan dat die twee kante altyd gelyk sal wees. Dit beteken dat 'n uitdrukking in die vorm:

a^{2} x^{2} - b^{2}

gefaktoriseer kan word as:

(a x + b) (a x - b)

Dus,

a^{2} x^{2} - b^{2} = (a x + b) (a x - b)

Byvoorbeeld, $x^{2} - 16$ kan geskryf word as $(x^{2} - 4^{2})$ wat die verskil is tussen twee kwadrate. Dus, die faktore van $x^{2} - 16$ is $(x - 4)$ en $(x + 4)$ .

Faktoriseer volledig: $b^{2} y^{5} - 3 a b y^{3}$

Vind die gemene faktore:
$\begin{matrix} b^{2} y^{5} - 3 a b y^{3} & = & b y^{3} (b y^{2} - 3 a) \end{matrix}$

Faktoriseer volledig: $3 a (a - 4) - 7 (a - 4)$

Vind die gemene faktore
$(a - 4)$ is die gemene faktor
$\begin{matrix} 3 a (a - 4) - 7 (a - 4) & = & (a - 4) (3 a - 7) \end{matrix}$

Faktoriseer $5 (a - 2) - b (2 - a)$

Let daarop dat $(2 - a) = - (a - 2)$
$\begin{matrix} 5 (a - 2) - b (2 - a) & = & 5 (a - 2) - [- b (a - 2)] \\ = & 5 (a - 2) + b (a - 2) \\ = & (a - 2) (5 + b) \end{matrix}$

Hersien

Vind die produkte / Verwyder die hakies:

(a) $2 y (y + 4)$	(b) $(y + 5) (y + 2)$	(c) $(y + 2) (2 y + 1)$
(d) $(y + 8) (y + 4)$	(e) $(2 y + 9) (3 y + 1)$	(f) $(3 y - 2) (y + 6)$

Faktoriseer:
1. $2 l + 2 w$
2. $12 x + 32 y$
3. $6 x^{2} + 2 x + 10 x^{3}$
4. $2 x y^{2} + x y^{2} z + 3 x y$
5. $- 2 a b^{2} - 4 a^{2} b$

Faktoriseer volledig:

(a) $7 a + 4$	(b) $20 a - 10$	(c) $18 a b - 3 b c$
(d) $12 k j + 18 k q$	(e) $16 k^{2} - 4 k$	(f) $3 a^{2} + 6 a - 18$
(g) $- 6 a - 24$	(h) $- 2 a b - 8 a$	(i) $24 k j - 16 k^{2} j$
(j) $- a^{2} b - b^{2} a$	(k) $12 k^{2} j + 24 k^{2} j^{2}$	(l) $72 b^{2} q - 18 b^{3} q^{2}$
(m) $4 (y - 3) + k (3 - y)$	(n) $a (a - 1) - 5 (a - 1)$	(o) $b m (b + 4) - 6 m (b + 4)$
(p) $a^{2} (a + 7) + a (a + 7)$	(q) $3 b (b - 4) - 7 (4 - b)$	(r) $a^{2} b^{2} c^{2} - 1$

Meer produkte

Khan akademie video oor die produk van polinoomuitdrukkings

Ons het gesien hoe om twee binomiale te vermenigvuldig in die afdeling "Produk van twee Binomiale" . In hierdie gedeelte, gaan ons leer hoe om 'n binomiaal (uitdrukking met twee terme) met 'n trinomiaal of drieterm (uitdrukking met drie terme) te vermenigvuldig. Gelukkig gebruik ons dieselfde metode as om twee binomiaaluitdrukkings te vermenigvuldiging.

Byvoorbeeld, vermenigvuldig $2 x + 1$ met $x^{2} + 2 x + 1$

\begin{matrix} (2 x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) \\ = & 2 x (x^{2} + 2 x + 1) + 1 (x^{2} + 2 x + 1) & (pas distributiewe eienskap toe) \\ = & [2 x (x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x (1)] + [1 (x^{2}) + 1 (2 x) + 1 (1)] \\ = & 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + x^{2} + 2 x + 1 & (brei die hakies uit) \\ = & 2 x^{3} + (4 x^{2} + x^{2}) + (2 x + 2 x) + 1 & (groepeer soortgelyke terme om te vereenvoudig) \\ = & 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 1 & (vereenvoudig om 'n finale antwoord te gee) \end{matrix}

Vermenigvuldiging van binomiaal met trinomiaal

In die vermenigvuldiging van die binomiaal $A + B$ met die trinomiaal $C + D + E$ , is die heel eerste stap om die distributiewe wet toe te pas:

(A + B) (C + D + E) = A (C + D + E) + B (C + D + E)

As jy dit onthou, sal jy nie 'n fout maak nie!

Vermenigvuldig $x - 1$ met $x^{2} - 2 x + 1$

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
Twee uitdrukkings word gegee: 'n binomiaal, $x - 1$ , en 'n trinomiaal, $x^{2} - 2 x + 1$ . Ons moet hulle met mekaar vermenigvuldig.
Bepaal hoe om die probleem aan te pak.
Pas die distributiewe wet toe en vereenvoudig daarna.
Los die probleem op
$\begin{matrix} (x - 1) (x^{2} - 2 x + 1) \\ = & x (x^{2} - 2 x + 1) - 1 (x^{2} - 2 x + 1) & (pas die distributiewe wet toe) \\ = & [x (x^{2}) + x (- 2 x) + x (1)] + [- 1 (x^{2}) - 1 (- 2 x) - 1 (1)] \\ = & x^{3} - 2 x^{2} + x - x^{2} + 2 x - 1 & (brei die hakies uit) \\ = & x^{3} + (- 2 x^{2} - x^{2}) + (x + 2 x) - 1 & (groepeer soorgelyke terme saam om te vereenvoudig) \\ = & x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 & (vereenvoudig om die finale antwoord te kry) \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Die produk van $x - 1$ en $x^{2} - 2 x + 1$ is $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ .

Vind die produk van $x + y$ en $x^{2} - x y + y^{2}$ .

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
Twee uitdrukkings word gegee: 'n binomiaal, $x + y$ , en 'n trinomiaal, $x^{2} - x y + y^{2}$ . Ons moet hulle met mekaar vermenigvuldig.
Bepaal hoe om die probleem aan te pak
Pas die distributiewe wet toe en vereenvoudig dan verder.
Los die probleem op
$\begin{matrix} (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) \\ = & x (x^{2} - x y + y^{2}) + y (x^{2} - x y + y^{2}) & (pas die distributiewe wet toe) \\ = & [x (x^{2}) + x (- x y) + x (y^{2})] + [y (x^{2}) + y (- x y) + y (y^{2})] \\ = & x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - x y^{2} + y^{3} & (brei die hakies uit) \\ = & x^{3} + (- x^{2} y + y x^{2}) + (x y^{2} - x y^{2}) + y^{3} & (groepeer soortgelyke terme om te vereenvoudig) \\ = & x^{3} + y^{3} & (vereenvoudig om die finale antwoord te kry) \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Die produk van $x + y$ en $x^{2} - x y + y^{2}$ is $x^{3} + y^{3}$ .

Ons het gesien dat:

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = x^{3} + y^{3}

Dit staan bekend as die som van derdemagte .

Ondersoek: verskil van derdemagte

Toon aan dat die verskil van derdemagte ( $x^{3} - y^{3}$ ) gegee word deur die produk van $x - y$ en $x^{2} + x y + y^{2}$ .

Produkte

Vind die produk van:

(a) $(- 2 y^{2} - 4 y + 11) (5 y - 12)$	(b) $(- 11 y + 3) (- 10 y^{2} - 7 y - 9)$
(c) $(4 y^{2} + 12 y + 10) (- 9 y^{2} + 8 y + 2)$	(d) $(7 y^{2} - 6 y - 8) (- 2 y + 2)$
(e) $(10 y^{5} + 3) (- 2 y^{2} - 11 y + 2)$	(f) $(- 12 y - 3) (12 y^{2} - 11 y + 3)$
(g) $(- 10) (2 y^{2} + 8 y + 3)$	(h) $(2 y^{6} + 3 y^{5}) (- 5 y - 12)$
(i) $(6 y^{7} - 8 y^{2} + 7) (- 4 y - 3) (- 6 y^{2} - 7 y - 11)$	(j) $(- 9 y^{2} + 11 y + 2) (8 y^{2} + 6 y - 7)$
(k) $(8 y^{5} + 3 y^{4} + 2 y^{3}) (5 y + 10) (12 y^{2} + 6 y + 6)$	(l) $(- 7 y + 11) (- 12 y + 3)$
(m) $(4 y^{3} + 5 y^{2} - 12 y) (- 12 y - 2) (7 y^{2} - 9 y + 12)$	(n) $(7 y + 3) (7 y^{2} + 3 y + 10)$
(o) $(9) (8 y^{2} - 2 y + 3)$	(p) $(- 12 y + 12) (4 y^{2} - 11 y + 11)$
(q) $(- 6 y^{4} + 11 y^{2} + 3 y) (10 y + 4) (4 y - 4)$	(r) $(- 3 y^{6} - 6 y^{3}) (11 y - 6) (10 y - 10)$
(s) $(- 11 y^{5} + 11 y^{4} + 11) (9 y^{3} - 7 y^{2} - 4 y + 6)$	(t) $(- 3 y + 8) (- 4 y^{3} + 8 y^{2} - 2 y + 12)$

Questions & Answers

what is diffusion

Emmanuel Reply

passive process of transport of low-molecular weight material according to its concentration gradient

AI-Robot

what is production?

Catherine

Pathogens and diseases

how did the oxygen help a human being

Achol Reply

how did the nutrition help the plants

Achol Reply

Biology is a branch of Natural science which deals/About living Organism.

Ahmedin Reply

what is phylogeny

Odigie Reply

evolutionary history and relationship of an organism or group of organisms

AI-Robot

Deng

what is biology

Hajah Reply

cell is the smallest unit of the humanity biologically

Abraham

what is biology

Victoria Reply

what is biology

Abraham

HOW CAN MAN ORGAN FUNCTION

Alfred Reply

the diagram of the digestive system

Assiatu Reply

allimentary cannel

Ogenrwot

How does twins formed

William Reply

They formed in two ways first when one sperm and one egg are splited by mitosis or two sperm and two eggs join together

Oluwatobi

what is genetics

Josephine Reply

Genetics is the study of heredity

Misack

how does twins formed?

Misack

What is manual

Hassan Reply

discuss biological phenomenon and provide pieces of evidence to show that it was responsible for the formation of eukaryotic organelles

Joseph Reply

what is biology

Yousuf Reply

the study of living organisms and their interactions with one another and their environment.

Wine

what is biology

daniel Reply

Got questions? Join the online conversation and get instant answers!

Jobilize.com Reply

<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

100% Free Mobile Applications
Receive real-time job alerts and never miss the right job again

Source: OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]. OpenStax CNX. Aug 04, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11328/1.4

Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]' conversation and receive update notifications?

Ask

	7 AP 07 Axial Skeleton MCQ By OpenStax Start Quiz
	24 AP Key Terms 24 Metabolism Nutrition By OpenStax Start Key Terms
	PE Power Enigeering Safety By Gerr Zen Start Quiz
	Biology Final By Anonymous User Start Quiz
	Spanish (Places) By Inderjeet Brar Start Flashcards
	6 Physiotherapy Flashcards Set 6 By Rhodes Start Flashcards
	12 AP 12 Nervous System Essay By OpenStax Start Flashcards
	11 AP Key Terms 11 The Muscular System By OpenStax Start Key Terms
	Autonomic Nervous System By Marriyam Rana Start Quiz
	15 AP 15 Autonomic Nervous System MCQ By OpenStax Start Quiz