0.3 Kwadratiese rye

Siyavula textbooks: wiskunde Page 1 / 1

Inleiding

In graad 10 het jy geleer van rekenkundige rye, waar die verskil tussen opeenvolgende terme konstant was. In hierdie hoofstuk leer ons van kwadratiese rye.

Wat is 'n kwadratiese ry ?

Kwadratiese ry

'n Kwadratiese ry is 'n ry waar die tweede verskille tussen opeenvolgende terme met dieselfde hoeveelheid verskil. Dit word 'n gemene tweede verskil genoem.

Byvoorbeeld

1; 2; 4; 7; 11; ...

is 'n kwadratiese ry. Kom ons stel vas hoekom ...

Indien ons die verskil tussen opeenvolgende terme neem, is

\begin{matrix} a_{2} - a_{1} & = 2 - 1 & = 1 \\ a_{3} - a_{2} & = 4 - 2 & = 2 \\ a_{4} - a_{3} & = 7 - 4 & = 3 \\ a_{5} - a_{4} & = 11 - 7 & = 4 \end{matrix}

dan werk ons die tweede verskille uit, wat bloot gekry word deur die verskille tussen opeenvolgende verskille { $1; 2; 3; 4; ...$ } te neem:

\begin{matrix} 2 - 1 & = & 1 \\ 3 - 2 & = & 1 \\ 4 - 3 & = & 1 \\ ... \end{matrix}

Ons sien dan dat die tweede verskille gelyk is aan "1". Dus is [link] 'n kwadratiese ry .

Let op dat die verskille tussen opeenvolgende terme (met ander woorde, die eerste verskille) van 'n kwadratiese ry, 'n ry vorm waar daar 'n konstante verskil is tussen opeenvolgende terme. In die voorbeeld hier bo, het die ry { $1; 2; 3; 4; ...$ }, wat gevorm is die die verskille tussen opeenvolgende terme van [link] te neem, 'n linêere formule van die vorm $a x + b$ .

Kwadratiese rye

Die volgende is ook voorbeelde van kwadratiese rye:

\begin{matrix} 3; 6; 10; 15; 21; ... \\ 4; 9; 16; 25; 36; ... \\ 7; 17; 31; 49; 71; ... \\ 2; 10; 26; 50; 82; ... \\ 31; 30; 27; 22; 15; ... \end{matrix}

Kan jy die gemene tweede verskille vir elk van die voorbeelde hier bo bereken?

Skryf neer die volgende twee terme en vind 'n formule vir die $n^{de}$ term in die ry $5, 12, 23, 38, . . ., . . .,$

Vind die eerste verskille tussen die terme
i.e. $7, 11, 15$
Vind die tweede verskille tussen die terme
die tweede verskil is 4.

As ons die ry voortsit, sal die verskille tussen terme die volgende wees:

$15 + 4 = 19$

$19 + 4 = 23$
Om die volgende twee terme te vind
Dus sal die volgende twee terme in die reeks die volgende wees:

$38 + 19 = 57$

$57 + 23 = 80$

Dus sal die ry die volgende wees: $5, 12, 23, 38, 57, 80$
Ons moet nou die formula vir die ry vind
Ons weet dat die tweede verskil 4 is. Die begin van die formule sal dus $2 n^{2}$ wees.
Ons moet nou die volgende deel van die ry uitwerk
Indien $n = 1$ , moet jy die volgende waarde in die ry kry, wat "5" vir hierdie spesifieke ry is. Die verskil tussen $2 n^{2} = 2$ en die oorspronklike getal (5) is 3, wat lei tot $n + 2$ .

Kyk of dit werk vir die tweede terme, d.i. wanneer $n = 2$ .

Dan is $2 n^{2} = 8$ . Die verskil tussen term twee en (12) en 8 is 4, wat geskryf kan word as $n + 2$ .

Dus vir die ry $5, 12, 23, 38, . . .$ is die formule vir die $n^{de}$ term $2 n^{2} + n + 2$ .

Algemene geval

Indien die ry kwadraties is, moet die $n^{de}$ term $T_{n} = a n^{2} + b n + c$ wees

TERME	$a + b + c$		$4 a + 2 b + c$		$9 a + 3 b + c$
$1^{ste}$ verskil		$3 a + b$		$5 a + b$		$7 a + b$
$2^{de}$ verskil			$2 a$		$2 a$

In elke geval is die tweede verskil $2 a$ . Hierdie feit kan gebruik word om $a$ te vind, dan $b$ en dan $c$ .

Die volgende ry is kwadraties: $8, 22, 42, 68, . . .$ Vind die formule.

Neem aan dat die formule $a n^{2} + b n + c$ is

TERME 8 22 42 68

$1^{ste}$ verskil 14 20 26

$2^{de}$ verskil 6 6 6
Bepaal die waardes vir $a, b$ en $c$
$\begin{matrix} Dan is 2 a & = & 6 \\ wat gee a & = & 3 \\ En 3 a + b & = & 14 \\ ∴ 9 + b & = & 14 \\ b & = & 5 \\ En a + b + c & = & 8 \\ ∴ 3 + 5 + c & = & 8 \\ c & = & 0 \end{matrix}$
Vind die formule
Die formule is dus: $n^{de} t e r m = 3 n^{2} + 5 n$
Gaan antwoord na
Vir

$\begin{matrix} n & = & 1, T_{1} = 3 {(1)}^{2} + 5 (1) = 8 \\ n & = & 2, T_{2} = 3 {(2)}^{2} + 5 (2) = 22 \\ n & = & 3, T_{3} = 3 {(3)}^{2} + 5 (3) = 42 \end{matrix}$

Bepaling van die $n^{de}$ -term van 'n kwadratiese ry

Laat die $n^{d e}$ -term vir 'n kwadratiese ry gegee word deur

\begin{matrix} a_{n} = A \cdot n^{2} + B \cdot n + C \end{matrix}

waar $A$ , $B$ and $C$ konstantes is wat bepaal moet word.

\begin{matrix} a_{n} & = & A \cdot n^{2} + B \cdot n + C \\ a_{1} & = & A {(1)}^{2} + B (1) + C = A + B + C \\ a_{2} & = & A {(2)}^{2} + B (2) + C = 4 A + 2 B + C \\ a_{3} & = & A {(3)}^{2} + B (3) + C = 9 A + 3 B + C \end{matrix}

\begin{matrix} Laat d & = & a_{2} - a_{1} \\ ∴ d & = & 3 A + B \end{matrix}

\Rightarrow B = d - 3 A

Die gemene tweede verskil word gekry vanaf

\begin{matrix} D & = & (a_{3} - a_{2}) - (a_{2} - a_{1}) \\ = & (5 A + B) - (3 A + B) \\ = & 2 A \end{matrix}

\Rightarrow A = \frac{D}{2}

Dus, vanuit [link] ,

B = d - \frac{3}{2} \cdot D

Vanuit [link] ,

C = a_{1} - (A + B) = a_{1} - \frac{D}{2} - d + \frac{3}{2} \cdot D

∴ C = a_{1} + D - d

Uiteindelik word die algemene formule vir die $n^{d e}$ term van 'n kwadratiese ry gegee deur

a_{n} = \frac{D}{2} \cdot n^{2} + (d - \frac{3}{2} D) \cdot n + (a_{1} - d + D)

Bestudeer die volgende patroon: 1; 7; 19; 37; 61; ...

Wat is die volgende getal in die ry?
Gebruik veranderlikes om 'n algebraïese formula op te stel wat die patroon veralgemeen.
Wat sal die $100^{ste}$ term van die ry wees?

Die volgende getal in die ry is
Die getalle vermeerder met veelvoude van 6

$1 + 6 (1) = 7$ , dan is $7 + 6 (2) = 19$

$19 + 6 (3) = 37$ , dan is $37 + 6 (4) = 61$

Dus is $61 + 6 (5) = 91$

Die volgende getal in die ry is 91.
Om die patroon te veralgemeen

TERME 1 7 19 37 61

$1^{ste}$ verskil 6 12 18 24

$2^{de}$ verskil 6 6 6 6

Die patroon sal 'n kwadratiese patroon opbring, aangesien die tweede verskille konstant is.

Dus is $a n^{2} + b n + c = y$

Vir die eerste term: $n = 1$ , dan is $y = 1$

Vir die tweede term: $n = 2$ , dan is $y = 7$

Vir die derde term: $n = 3$ , dan is $y = 19$

ensovoorts....
Om die stel vergelykings op te stel
$\begin{matrix} a + b + c & = & 1 \\ 4 a + 2 b + c & = & 7 \\ 9 a + 3 b + c & = & 19 \end{matrix}$
Los die stel vergelykings op
$\begin{matrix} verg. (2) - verg. (1) : & 3 a + b = 6 \\ verg. (3) - verg. (2) : & 5 a + b = 12 \\ verg. (5) - verg. (4) : & 2 a = 6 \\ ∴ & a = 3, b = - 3 e n c = 1 \end{matrix}$
Finale antwoord
Die algemene formule vir die patroon is $3 n^{2} - 3 n + 1$
Term 100
Vervang $n$ met 100:

$3 {(100)}^{2} - 3 (100) + 1 = 29 701$

Die waarde van die $100^{ste}$ term is 29 701.

Teken 'n grafiek van die terme van 'n kwadratiese ry

Die plot van $a_{n}$ vs. $n$ lewer 'n paraboliese grafiek vir 'n kwadratiese ry,

gegee die kwadratiese ry

\begin{matrix} 3; 6; 10; 15; 21; ... \end{matrix}

Indien ons elke van die terme teenoor die ooreenstemmende indeks teken, kry ons die grafiek van 'n parabool.

Oefeninge

Vind die eerste 5 terme van die kwadratiese ry gedefinieer deur:
$a_{n} = n^{2} + 2 n + 1$
Bepaal watter van die volgende rye kwadraties is deur die gemene tweede verskille te bereken:
1. $6; 9; 14; 21; 30; ...$
2. $1; 7; 17; 31; 49; ...$
3. $8; 17; 32; 53; 80; ...$
4. $9; 26; 51; 84; 125; ...$
5. $2; 20; 50; 92; 146; ...$
6. $5; 19; 41; 71; 109; ...$
7. $2; 6; 10; 14; 18; ...$
8. $3; 9; 15; 21; 27; ...$
9. $10; 24; 44; 70; 102; ...$
10. $1; 2, 5; 5; 8, 5; 13; ...$
11. $2, 5; 6; 10, 5; 16; 22, 5; ...$
12. $0, 5; 9; 20, 5; 35; 52, 5; ...$
Gegee $a_{n} = 2 n^{2}$ , vind die waarde van $n$ , $a_{n} = 242$
Gegee $a_{n} = {(n - 4)}^{2}$ , vind vir watter waarde van $n$ , $a_{n} = 36$
Gegee $a_{n} = n^{2} + 4$ , vind die waarde van $n$ , $a_{n} = 85$
Gegee $a_{n} = 3 n^{2}$ , vind $a_{11}$
Gegee $a_{n} = 7 n^{2} + 4 n$ , vind $a_{9}$
Gegee $a_{n} = 4 n^{2} + 3 n - 1$ , vind $a_{5}$
Gegee $a_{n} = 1, 5 n^{2}$ , vind $a_{10}$
Vir elke van die kwadratiese rye, vind die gemene tweede verskil, die formule vir die algemene term en gebruik dan die formule om a 100 te vind.
1. $4, 7, 12, 19, 28, ...$
2. $2, 8, 18, 32, 50, ...$
3. $7, 13, 23, 37, 55, ...$
4. $5, 14, 29, 50, 77, ...$
5. $7, 22, 47, 82, 127, ...$
6. $3, 10, 21, 36, 55, ...$
7. $3, 7, 13, 21, 31, ...$
8. $3, 9, 17, 27, 39, ...$

Questions & Answers

how to create a software using Android phone

Wiseman Reply

how

basra

what is the difference between C and C++.

Yan Reply

what is software

Sami Reply

software is a instructions like programs

Shambhu

what is the difference between C and C++.

Yan

yes, how?

Hayder

what is software engineering

Ahmad

software engineering is a the branch of computer science deals with the design,development, testing and maintenance of software applications.

Hayder

who is best bw software engineering and cyber security

Ahmad

Both software engineering and cybersecurity offer exciting career prospects, but your choice ultimately depends on your interests and skills. If you enjoy problem-solving, programming, and designing software syste

Hayder

what's software processes

Ntege Reply

I haven't started reading yet. by device (hardware) or for improving design Lol? Here. Requirement, Design, Implementation, Verification, Maintenance.

Vernon

I can give you a more valid answer by 5:00 By the way gm.

Vernon

it is all about designing,developing, testing, implementing and maintaining of software systems.

Ehenew

hello assalamualaikum

Sami

My name M Sami I m 2nd year student

Sami

what is the specific IDE for flutter programs?

Mwami Reply

jegudgdtgd my Name my Name is M and I have been talking about iey my papa john's university of washington post I tagged I will be in

Mwaqas Reply

yes

usman

how disign photo

atul Reply

hlo

Navya

Michael

yes

Subhan

Show the necessary steps with description in resource monitoring process (CPU,memory,disk and network)

samuel Reply

What is software engineering

Tafadzwa Reply

Software engineering is a branch of computer science directed to writing programs to develop Softwares that can drive or enable the functionality of some hardwares like phone , automobile and others

kelvin

if any requirement engineer is gathering requirements from client and after getting he/she Analyze them this process is called

Alqa Reply

The following text is encoded in base 64. Ik5ldmVyIHRydXN0IGEgY29tcHV0ZXIgeW91IGNhbid0IHRocm93IG91dCBhIHdpbmRvdyIgLSBTdGV2ZSBXb3puaWFr Decode it, and paste the decoded text here

Julian Reply

what to do you mean

Vincent

hello

ALI

how are you ?

ALI

What is the command to list the contents of a directory in Unix and Unix-like operating systems

George Reply

how can i make my own software free of cost

Faizan Reply

like how

usman

Hayder

The name of the author of our software engineering book is Ian Sommerville.

Doha Reply

what is software

Sampson Reply

the set of intruction given to the computer to perform a task

Noor

Got questions? Join the online conversation and get instant answers!

Jobilize.com Reply

<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

100% Free Mobile Applications
Receive real-time job alerts and never miss the right job again

Source: OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4

Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask

	Professional makeup certification Test By Angela January Start Quiz
	9 Sociology 09 Social Stratification in the US MCQ By OpenStax Start Quiz
	5 Arts Society: Theater 5 By Jonathan Long Start Quiz
	Nutrition and Chronic Disease- Test 2 By Madison Christian Start Flashcards
	Advertising Promotion BUS210 By Melinda Salzer Start Quiz
	3 Lec:3 Cohort Studies By Janet Forrester Start Quiz
	Principles of macroeconomics for ap® courses By OpenStax Read Online Course
	39 Biology 39 The Respiratory System MCQ By OpenStax Start Quiz
©flickr: Abraham	Biology Exam 3 By Vanessa Soledad Start Exam
	5 Sociology 05 Socialization MCQ By OpenStax Start Quiz

0.3 Kwadratiese rye

Inleiding

Wat is 'n kwadratiese ry ?

Kwadratiese rye

Algemene geval

Bepaling van die n de -term van 'n kwadratiese ry

Teken 'n grafiek van die terme van 'n kwadratiese ry

Oefeninge

Questions & Answers

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Bepaling van die $n^{de}$ -term van 'n kwadratiese ry