3.1 Saamgestelde rente (Page 2/2)

Siyavula textbooks: wiskunde Page 2 / 2

Indien ons aanvangsbedrag $P$ is en ons het 'n rentekoers van $i$ per jaar, dan sal die eindbedrag aan die einde van die eerste jaar gelyk wees aan:

Eindbedrag na 1 jaar = P (1 + i)

Dit is dieselfde as enkelvoudige rente, want dit strek net oor een tydsinterval ('n jaar in hierdie geval). As ons die geld dan onttrek en weer belê vir nog 'n jaar - soos wat ons in die uitgewerkte voorbeeld hierbo gedoen het - sal die eindbedrag aan die einde van die tweede jaar as volg wees:

\begin{matrix} Eindbedrag na 2 jaar & = & [P (1 + i)] \times (1 + i) \\ = & P {(1 + i)}^{2} \end{matrix}

As ons hierdie geld onttrek en weer vir nog 'n jaar belê, sal die eindbedrag wees:

\begin{matrix} Eindbedrag na 3 jaar & = & [P {(1 + i)}^{2}] \times (1 + i) \\ = & P {(1 + i)}^{3} \end{matrix}

Ons kan sien dat die eksponent van die term $(1 + i)$ gelyk is aan die aantal tydsintervalle (jare in hierdie voorbeeld.) Dus,

Eindbedrag na n jaar = P {(1 + i)}^{n}

Die geheel bestaan uit kleiner dele

Dit is maklik om te bewys dat hierdie formule wel werk, selfs wanneer $n$ 'n breuk van 'n jaar is. Byvoorbeeld: gestel ons belê die geld vir 1 maand, dan vir 4 maande en dan vir 7 maande.

\begin{matrix} Eindsaldo na 1 maand & = & P {(1 + i)}^{\frac{1}{12}} \\ Eindsaldo na 5 maande & = & Eindsaldo na 1 maand belê met 4 maande oor \\ = & [P {(1 + i)}^{\frac{1}{12}}] {(1 + i)}^{\frac{4}{12}} \\ = & P {(1 + i)}^{\frac{1}{12} + \frac{4}{12}} \\ = & P {(1 + i)}^{\frac{5}{12}} \\ Eindsaldo na 12 maande & = & Eindsaldo na 5 maande belê met 7 maande oor \\ = & [P {(1 + i)}^{\frac{5}{12}}] {(1 + i)}^{\frac{7}{12}} \\ = & P {(1 + i)}^{\frac{5}{12} + \frac{7}{12}} \\ = & P {(1 + i)}^{\frac{12}{12}} \\ = & P {(1 + i)}^{1} \end{matrix}

wat dieselfde is as om die geld vir 'n jaar te belê.

Kyk nou versigtig na die lang berekening hierbo. Dit is nie so ingewikkeld as wat dit lyk nie! Al wat ons doen is om die aanvanklike bedrag ( $P$ ) te neem en net 1 maand se rente by te voeg. Dan neem ons daardie nuwe saldo en voeg 'n verdere 4 maande se rente by. Dan neem ons die saldo na al 5 maande en voeg 7 maande se rente by. Kyk weer daarna en let op hoe maklik dit eintlik is!

Lyk die finale formule bekend? Reg - dit is dieselfde resultaat as wanneer die geld vir een volle jaar belê word. Dit is presies wat ons verwag, want:

1 maand + 4 maande + 7 maande = 12 maande, wat 'n jaar is.

Kan jy dit sien? Moenie aanbeweeg totdat jy hierdie gedeelte verstaan nie.

Die krag van saamgestelde rente

Om te sien hoe belangrik "rente op rente" is, sal ons kyk na die verskil in die eindbedrae van geld wat teen enkelvoudige rente belê is en geld wat teen saamgestelde rente belê is. Beskou 'n bedrag van R10 000 wat jy vir 10 jaar moet belê en aanvaar dat jy rente kan verdien teen 9% per jaar. Wat sal die waarde van die belegging wees na 10 jaar?

Die eindbedrag indien die geld enkelvoudige rente verdien, is:

\begin{matrix} A & = & P (1 + i \cdot n) \\ = & R 10 000 (1 + 9 % \times 10) \\ = & R 19 000 \end{matrix}

Die eindbedrag indien die geld saamgestelde rente verdien, is:

\begin{matrix} A & = & P {(1 + i)}^{n} \\ = & R 10 000 {(1 + 9 %)}^{10} \\ = & R 23 673, 64 \end{matrix}

Die volgende keer wanneer iemand praat oor die “magic" van saamgestelde rente gaan jy nie net verstaan wat die persoon bedoel nie - jy gaan in staat wees om dit wiskundig te bewys!

Weereens, hou in gedagte dat dit goeie nuus en slegte nuus is. As jy rente verdien op geld wat jy belê het, sal saamgestelde rente daartoe lei dat die bedrag eksponensieel vermeerder. Maar, as jy geld geleen het, sal daardie bedrag ook eksponensieel groei.

Mnr Lowe wil 'n lening van R350 000 uitneem. Hy wil in totaal nie meer as R625 000 terugbetaal aan die lening nie. Bereken vir watter tydperk hy die lening moet uitneem indien 'n rentekoers van 13% per jaar aangebied word.

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
- Aanvangsbedrag, $P = R 350 000$
- Eindbedrag, $A = R 625 000$
- Rentekoers per tydsinterval, $i = 13 % per jaar$
Ons moet die tydsduur van die lening bepaal ( $n$ ).
Besluit hoe om die probleem aan te pak
Ons weet vanuit [link] dat:

$A = P {(1 + i)}^{n}$

Ons moet vir $n$ bepaal.

Daarom verander ons die formule na:

$\frac{A}{P} = {(1 + i)}^{n}$

en dan bepaal ons $n$ met probeer en tref.
Los die probleem op
$\begin{matrix} \frac{A}{P} & = & {(1 + i)}^{n} \\ \frac{625000}{350000} & = & {(1 + 0, 13)}^{n} \\ 1, 785 . . . & = & {(1, 13)}^{n} \\ Probeer n & = & 3 : {(1, 13)}^{3} = 1, 44 . . . \\ Probeer n & = & 4 : {(1, 13)}^{4} = 1, 63 . . . \\ Probeer n & = & 5 : {(1, 13)}^{5} = 1, 84 . . . \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer Mnr Lowe moet die lening vir 4 jaar uitneem.

Ander toepassings van saamgestelde groei

Suid-Afrika se bevolking neem toe teen 2,5% per jaar. Indien die huidige bevolking 43 miljoen mense is, hoeveel meer mense sal daar oor twee jaar in Suid-Afrika wees?

Suid-Afrika se bevolking neem toe teen 2,5% per jaar. Indien die huidige bevolking 43 miljoen mense is, hoeveel meer mense sal daar oor 2 jaar in Suid-Afrika wees?

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
- Aanvangstotaal , $P = 43 000 000$
- Aantal tydsintervalle , $n = 2 jaar$
- Groeikoers , $i = 2, 5 % per jaar$
Ons moet die eindtotaal bepaal ( $A$ ).
Besluit hoe om die probleem aan te pak
Ons weet vanuit [link] dat:

$A = P {(1 + i)}^{n}$
Los die probleem op
$\begin{matrix} A & = & P {(1 + i)}^{n} \\ = & 43 000 000 {(1 + 0, 025)}^{2} \\ = & 45 176 875 \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Daar sal oor 2 jaar $45 176 875 - 43 000 000 = 2 176 875$ meer mense in Suid-Afrika wees.

'n Swembad word behandel vir die opbou van alge. Aanvanklik was $50 m^{2}$ van die swembad bedek met alge. Met elke dag van behandeling, verminder die alge met 5%. Bepaal die grootte van die oppervlakte van die swembad wat met alge bedek is na 30 dae van behandeling.

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
- Aanvangsoppervlakte, $P = 50 m^{2}$
- Aantal tydsintervalle , $n = 30 dae$
- Koers van vermindering, $i = 5 % per dag$
Ons moet die oppervlakte bepaal wat aan die einde bedek is ( $A$ ).
Besluit hoe om die probleem aan te pak
Ons weet vanuit [link] dat:

$A = P {(1 + i)}^{n}$

Maar ons werk met saamgestelde vermindering so ons kan die volgende formule gebruik:

$A = P {(1 - i)}^{n}$
Los die probleem op
$\begin{matrix} A & = & P {(1 - i)}^{n} \\ = & 50 {(1 - 0, 05)}^{30} \\ = & 10, 73 m^{2} \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Die grootte van die oppervlakte wat bedek is met alge na 30 dae is $10, 73 m^{2}$ .

Saamgestelde rente

'n Bedrag van R3 500 word belê in 'n spaarrekening wat saamgestelde rente verdien teen 7,5% per jaar. Bereken die bedrag wat opgebou is in die rekening na verloop van 2 jaar.
Die gemiddelde inflasiekoers vir die afgelope aantal jaar is 7,3% per jaar en jou water- en elektrisiteitsrekening is gemiddeld R1 425. Bereken wat jy kan verwag om te betaal oor 6 jaar.
Shrek wil geld belê teen 11% per jaar saamgestelde rente. Hoeveel geld (tot die naaste rand) moet hy belê indien hy oor 5 jaar 'n bedrag van R100 000 wil hê?

Die volgende afdeling op wisselkoerse is ingesluit ter wille van volledigheid. Dit is belangrik dat jy sal weet van fluktuerende wisselkoerse en die invloed daarvan op invoere en uitvoere. Fluktuerende wisselkoerse lei tot faktore soos die verhoging in die koste van brandstof. Jy kan meer hieroor lees in Fluktuerende wisselkoerse .

Questions & Answers

what is biology

daniel Reply

what is diffusion

Emmanuel Reply

passive process of transport of low-molecular weight material according to its concentration gradient

AI-Robot

what is production?

Catherine

Pathogens and diseases

how did the oxygen help a human being

Achol Reply

how did the nutrition help the plants

Achol Reply

Biology is a branch of Natural science which deals/About living Organism.

Ahmedin Reply

what is phylogeny

Odigie Reply

evolutionary history and relationship of an organism or group of organisms

AI-Robot

Deng

what is biology

Hajah Reply

cell is the smallest unit of the humanity biologically

Abraham

what is biology

Victoria Reply

what is biology

Abraham

HOW CAN MAN ORGAN FUNCTION

Alfred Reply

the diagram of the digestive system

Assiatu Reply

allimentary cannel

Ogenrwot

How does twins formed

William Reply

They formed in two ways first when one sperm and one egg are splited by mitosis or two sperm and two eggs join together

Oluwatobi

what is genetics

Josephine Reply

Genetics is the study of heredity

Misack

how does twins formed?

Misack

What is manual

Hassan Reply

discuss biological phenomenon and provide pieces of evidence to show that it was responsible for the formation of eukaryotic organelles

Joseph Reply

Got questions? Join the online conversation and get instant answers!

Jobilize.com Reply

<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

100% Free Mobile Applications
Receive real-time job alerts and never miss the right job again

Source: OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]. OpenStax CNX. Aug 04, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11328/1.4

Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]' conversation and receive update notifications?

Ask

	18 AP 18 Cardiovascular System Blood MCQ By OpenStax Start Quiz
	9 Psychology MCQ 2011 2 Exam By John Gabrieli Start Exam
©flickr: Gage	How well do you know Ross Lynch? By Brianna Beck Start Quiz
	Spreadsheets MCQ By Ryan Lowe Start Quiz
	17 AP 17 Endocrine System Essay By OpenStax Start Flashcards
	1 Understanding Societies 1 By Jessica Collett Start Exam
	10 Physiotherapy Modalities-Thermo By Rhodes Start Quiz
	3 Psychology MCQ 2009 2 Exam By John Gabrieli Start Exam
	Pre Employment English Proficiency Exam By Katherina jennife... Start Quiz
©flickr:	Vocabulary Practice Quiz! By Katie Montrose Start Quiz