9.3 Transformasies  (Page 3/3)

Reëls vir Translasie

ʼn Vinnige manier om ʼn translasie te skryf is deur die 'translasiereël' te gebruik. Byvoorbeeld $(x;y)\to (x+a;y+b)$ beteken: transleer punt (x;y) deur dit a eenhede horisontaal en b eenhede vertikaal te skuif.

As ons dus die punt (1;2) volgens die reël $(x;y)\to (x+3;y-1)$ transleer, word dit (4;1). Ons het 3 eenhede regs en 1 eenheid af geskuif.

Translasie van ʼn Gebied

Om ʼn gebied te transleer, moet ons elke punt in die gebied transleer.

Voorbeeld

Gebied A is getransleer na gebied B deur die reël: $(x;y)\to (x+4;y+2)$

Bespreking : transformasiereëls

Werk in pare en besluit watter item in kolom 1 pas by die beskrywing in kolom 2.

Transformasies

1. Beskryf die translasies in elk van die volgende deur gebruik te maak van die reël (x;y) $\to$ (...;...)

   

   1. Van A to B
   2. Van C to J
   3. Van F to H
   4. Van I to J
   5. Van K to L
   6. Van J to E
   7. Van G to H
2. A is die punt (4;1). Stip elk van die volgende punte onder die gegewe transformasies. Gee die koördinate van die punte wat jy neergestip het.
   1. B is die refleksie van A in die x-as.
   2. C is die refleksie van A in die y-as.
   3. D is die refleksie van B in die lyn x=0.
   4. E is die refleksie van C in die lyn y=0.
   5. F is die refleksie van A in die lyn y= x.
3. In die diagram is B, C en D beelde van poligoon A. In elke geval is die transformasie wat toegepas is om die beeld te verkry, ʼn refleksie en ʼn translasie van A. Skryf die letter neer van elke beeld en beskryf die transformasie toegepas op A ten einde die beeld te verkry.

   

Ondersoek : berekening van volume, oppervlakte en skaalfaktore van voorwerpe

1. Kyk rond by die skool en/of huis en kyk of jy enige blikkie in die hande kan kry (bv. boontjie, sop, koeldrank, ens.)
2. Meet die hoogte van die blikkie sowel as die deursnee daarvan.
3. Vul die waardes wat jy gemeet het op die diagram hier onder in:

   

4. Gebruik jou afmetings en bepaal die volgende (in cm ${}^2$ , afgerond tot 2 desimale):
   1. die oppervlak van die syvlak van die blikkie (d.i. die reghoek)
   2. die oppervlak van die bo- en onderkante van die blikkie (d.i. die sirkels)
   3. die totale oppervlakarea (buite-oppervlakte) van die blikkie
5. As die metaal 0,17 sent/cm ${}^2$ kos, hoeveel kos dit om die blikkie te maak?
6. Bereken die volume van jou blikkie (in cm ${}^3$ , afgerond tot 2 desimale plekke).
7. Wat is die volume van die blikkie volgens die etiket?
8. Vergelyk jou volume met die waarde op die etiket. Hoeveel lug is in die blikkie wanneer die inhoud (koeldrank, sop, ens.) verpak is?
9. Hoekom dink jy is daar lug oor in die blikkie?
10. As jy die volume van ʼn blikkie wil verdubbel, maar die radius dieselfde hou, met hoeveel moet die hoogte toeneem?
11. As die hoogte van die blikkie dieselfde gehou word, maar die radius word verdubbel, met watter faktor sal die:
    1. oppervlak van die sykant van die blikkie toeneem?
    2. oppervlak van die bo/onderkante van die blikkie toeneem?

Opsomming

• Die eienskappe van vlieërs, rombusse, parallelogamme, vierkante, reghoeke en trapesiums is ondersoek. Al hierdie vorme word vierhoeke genoem.
• Jy behoort die formules te ken vir die oppervlakarea van reghoekige en driehoekige prismas sowel as silinders.
• Die volume van ʼn regte prisma is bereken deur area van die basis te vermenigvuldig met die loodregte hoogte. Dus vir ʼn vierkantige prisma met sylengte $a$ en hoogte $h$ is die volume $a\times a\times h=a^{2}h$ .
• Gelykvormigheid van poligone Twee poligone is gelykvormig as:
  • hulle ooreenkomstige hoeke gelyk is
  • die lengtes van die sye eweredig is
  Alle vierkante is gelykvormig.

Finale oefeninge

1. Deur die reëls te gebruik wat verskaf is, identifiseer elke tipe transformasie en teken die vorms.
   1. (x;y) $\to$ (x+3;y-3)

      

   2. (x;y) $\to$ (x-4;y)

      

   3. (x;y) $\to$ (y;x)

      

   4. (x;y) $\to$ (-x;-y)

      

2. PQRS is ʼn veelhoek met hoekpunte P(0; −3) ; Q(−2;5) ; R(3;2) en S(3;–2) in die Cartesiese-vlak.
   1. Bepaal die lengte van QR.
   2. Bepaal die helling van PS.
   3. Bepaal die middelpunt van PR.
   4. Is PQRS ʼn parallelogram? Gee redes vir jou antwoord.
3. A(–2;3) en B(2;6) is punte in die Cartesiese-vlak. C(a;b) is die middelpunt van AB. Bereken die waardes van a en b.
   
4. Beskou driehoek ABC met hoekpunte A (1; 3), B (4; 1) en C (6; 4):
   1. Skets driehoek ABC in die Cartesiese vlak.
   2. Wys dat ABC ʼn gelykbenige driehoek is.
   3. Bepaal die koordinate van M, die middelpunt van AC.
   4. Bepaal die helling van AB.
   5. Wys dat die volgende punte saamlynig is: A, B en D(7;-1).
5. In die diagram is A die punt (-6;1) en B is die punt (0;3).

   

   1. Wat is die vergelyking van die lyn AB?
   2. Bereken die lengte van AB.
   3. A’ is die beeld van A en B’ is die beeld van B. Beide hierdie beelde is verkry uit die transformasie: (x;y) $\to$ (x-4;y-1). Gee die koördinate van beide A’ en B’.
   4. Bepaal die vergelyking van A’B’.
   5. Bereken die lengte van A’B’.
   6. Kan jy met sekerheid bevestig dat AA'B'B ʼn parallelogram is? Regverdig jou antwoord.
6. Die hoekpunte van driehoek PQR het koordinate soos in die diagram.

   

   1. Gee die koordinate van P', Q' en R', die beelde van P, Q en R wanneer P, Q en R reflekteer word in die lyn y=x.
   2. Bepaal die area van driehoek PQR.