0.3 Trạng thái của hệ thống  (Page 4/4)

Một đồ hình trạng thái được xây dựng theo tất cả các qui tắc của đồ hình truyền tín hiệu. Nhưng đồ hình trạng thái có thể được dùng để giải các hệ tuyến tính hoặc bằng giải tích hoặc bằng máy tính.

Trở lại mạch RLC ở ví dụ 4.3. Để diễn tả đồng lúc 3 phương trình (4.44) (4.45), (4.46), ta có thể dùng giãûn đồ hình trạng thái như hình H.4_4 sau đây :

H.4_4

Ở đó, 1/s chỉ một sự lấy tích phân.

Dùng công thức Mason về độ lợi tổng quát, ta có hàm chuyển:

$\frac{V_0(S)}{R(S)}=\frac{R/{\text{LCS}}^2}{1+(R/\text{LS})+(1/{\text{LCS}}^2)}=\frac{R/\text{LC}}{S^2+(R/L)S+1/\text{LC}}$ (4.48)

Nhưng rủi thay, hầu hết các mạch điện, các hệ thống điện cơ hay những hệ điều khiển đều không đơn giản như mạch RLC trên đây, và thường khó xác định một tập hợp các phương trình vi phân cấp 1 diển tả hệ thống.Vì vậy, để đơn giản hơn ,ta thường chuyển hóa kiểu mẩu trạng thái từ hàm chuyển.

Một cách tổng quát một hệ được mô tả bằng hàm chuyển như sau:

$G(S)=\frac{C(S)}{R(S)}=\frac{S^m+b_{m-1}{S}^{m-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+b_{1}S+b_0}{S^n+a_{n-1}{S}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{1}S+a_0}$ (4.49)

Ởû đó n>=m và mọi hệ số a đều thực dương. Nếu nhân tử và mẫu cho S-n ta được:

$G(S)=\frac{S^{-(n-m)}+b_{m-1}{S}^{-(n-m+1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+b_1{S}^{-(n-1)}+b_0{S}^{-n}}{1+a_{n-1}{S}^{-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_1{S}^{-(n-1)}+a_0{S}^{-n}}$ (4.50)

Công thức Mason quen thuộc giúp ta thừa nhận dễ dàng rằng tử số là tổng độ lợi trực tiếp, và mẫu số là tổng độ lợi vòng hồi tiếp.

Ta viết lại công thức Mason.

$T=\frac{C(S)}{R(S)}=\frac{\sum _i{p}_i{\Delta }_i}{\Delta }$ (4.51)

Nếu tất cả các vòng hồi tiếp đều chạm nhau và tất cả các đường trực tiếp đều chạm vòng hồi tiếp thì (4.51) thu lại

$T=\frac{\sum _i{P}_i}{1-\sum _j{P}_{\text{j1}}}=\frac{\text{Toång ñoä lôïi caùc ñöôøng tröïc tieáp}}{1-T\text{oång ñoä lôïi caùc voøng hoài tieáp}}$ (4.52)

Thí dụ 4.4 :

• Trước hết xem hàm chuyển của hệ thống cấp 4:

$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0}{s^4+a_3{s}^3+a_2{s}^2+a_{1}s+a_0}$ (4.53)

$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0{s}^{-4}}{1+a_3{s}^{-1}+a_2{s}^{-2}+a_1{s}^{-3}+a_0{s}^4}$

Vì hệ thống cấp 4, ta sẽ định nghĩa 4 biến trạng thái (x1,x2,x3,x4). Gợi ý từ công thức Mason, ta có thể tháy rằng mẫu số của (4.53) có thể được xem như là 1 cộng với độ lợi vòng, và tử số của hàm chuyển thì bằng với đôï lợi đường trực tiếp của đồ hình.

Đồ hình trạng thái phải dùng số lần lấy tích phân bằng với cấp số của hệ thống. Vậy cần lấy tích phân 4 lần.

$$

H.4-5

Ghép các nút lại. Nhớ rằng

Ta có đồ hình trạng thái của (4.53)

H.4_6

Thí dụ 4.5 :

• Bây giờ ta xem hàm chuyển cấp 4 khi tử số là một đa thức theo S:

$G(s)=\frac{b_3{s}^3+b_2{s}^2+b_1{s}^1+b_0}{s^4+a_3{s}^3+a_2{s}^2+a_{1}s+a_0}$ (4.54)

$G(s)=\frac{b_3{s}^{-1}+b_2{s}^{-2}+b_1{s}^{-3}+b_0{s}^{-4}}{1+a_3{s}^{-1}+a_2{s}^{-2}+a_1{s}^{-3}+a_0{s}^4}$ (4.55)

Tử số của G(s) là tổng độ lợi các đường trực tiếp trong công thức Mason. Đồ hình trạng thái (ĐHTT) vẽ ở hình H.4_7. Trong đó độ lợi các đường trực tiếp là b3/s; b2/s2; b1/s3 và b0/s4.

H.4_7

Từ ĐHTT, ta suy ra một tập hợp phương trình vi phân cấp 1, diễn tả trạng thái của hệ:

(4.56)

Ngoài ra, phương trình output là

C(t) = b0 x1 + b1 x2 + b2 x3 + b3 x4 (4.57)

Từ đo,ù dưới dạng ma trận, ta có:

$\stackrel{}{X}=\text{AX}+\mathrm{Br}$

$\frac{d}{\text{dt}}\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& -a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]r(t)$ (4.58)

và output là:

$C(t)=DX+Er$ (4.59)

$C(t)=\left[\begin{array}{cccc}{b}_0& b_1& b_2& b_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]$ (4.60)

• Lưu ý: Để diễn tả phương trình (4.54), ĐHTT vẽ ở hìmh H.4_7 không phải là duy nhất. Ta hãy xem hình H.4_8.

H.4_8a

H.4_8b

Từ ĐHTT ở hình H.4_8a, ta có một tập hợp phương trình trạng thái :

$C(t)=x_1t$

(4.61)

Để viết phương trình (4.61a), ta hãy tham khảo hình H.4_8b. Giữa hai nút và , ta thêm một nút mới x2. Các phương trình khác cũng làm tương tự.

Đồ hình H.4_8a trình bày cùng một hàm chuyển như đồ hình H.4_7. Nhưng các biến trạng thái của mỗi đồ hình thì không giống nhau.

Thí dụ 4.6 :

• Ta hãy xem một hệ thống điều khiển như hình H.4_9 có thể dùng ĐHTT để xác định trạng thái của hệ.

H.4_9

Hàm chuyền vòng kín của hệ :

$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\mathrm{2s}}^2+\mathrm{8s}+6}{s^3+{\mathrm{8s}}^2+\text{16}s+6}$ (4.64)

Nhân tử và mẩu với s­­­­­-3 :

$\frac{C}{R}=\frac{{\mathrm{2s}}^{-1}+{\mathrm{8s}}^{-2}+{\mathrm{6s}}^{-3}}{1+{\mathrm{8s}}^{-1}+\text{16}{s}^{-2}+{\mathrm{6s}}^{-3}}$ (4.47)

Đồ hình ,trạng thái cho bởi hình H.4_10

H.4_10

Từ đồ hình suy ra các phương trình trạng thái.

(4.66)

Và phương trình output :

C(t) = 6x1 + 8x2 + 2x3 (4.67)

Dưới dạng ma trận :

$\stackrel{}{X}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -6& -\text{16}& -8\end{array}\right]X+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]r(t)$ (4.68)

Và

$C(t)=\left[\begin{array}{ccc}6& 8& 2\end{array}\right]X$ (4.69)

Với

$\stackrel{}{X}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$ $\stackrel{}{X}=\left[\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}\\ \stackrel{}{x_2}\\ \stackrel{}{x_3}\end{array}\right]$