10.3 Grafieke van die trig funksies  (Page 3/3)

$\theta$	0 ${}^{\circ }$	30 ${}^{\circ }$	60 ${}^{\circ }$	90 ${}^{\circ }$	120 ${}^{\circ }$	150 ${}^{\circ }$
$tan\theta$
$\theta$	180 ${}^{\circ }$	210 ${}^{\circ }$	240 ${}^{\circ }$	270 ${}^{\circ }$	300 ${}^{\circ }$	330 ${}^{\circ }$	360 ${}^{\circ }$
$tan\theta$

Kom ons kyk weer na ons waardes vir $tan\theta$ .

Nou dat ons die grafieke het vir $sin\theta$ en $cos\theta$ , is daar 'n maklike manier om die tan-grafiek te visualiseer. Kom ons kyk weer na ons definisies van $sin\theta$ en $cos\theta$ vir 'n reghoekige driehoek.

Dit is die eerste van 'n stel belangrike verbande wat ons trigonometriese identiteite noem. 'n Identiteit is waar vir enige waarde van die onbekende(s) wat daarin ingestel word. In hierdie geval het ons aangetoon dat

vir enige waarde van $\theta$ .

Dus weet ons dat vir die waardes van $\theta$ waarvoor $sin\theta =0$ , moet ook $tan\theta =0$ . Soortgelyk, as $cos\theta =0$ is die waarde van $tan\theta$ ongedefiniëerd omdat ons nie mag deel met 0 nie. Die grafiek word getoon in [link] . Die vertikale stippellyne is die waardes van $\theta$ waarvoor $tan\theta$ nie gedefiniëerd is nie.

Funksies van die vorm $y=atan\left(x\right)+q$

Die figuur hieronder is 'n voorbeeld van 'n funksie van die vorm $y=atan\left(x\right)+q$ .

Funksies van die vorm $y=atan\left(\theta \right)+q$ :

1. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
   1. $a\left(\theta \right)=tan\theta -2$
   2. $b\left(\theta \right)=tan\theta -1$
   3. $c\left(\theta \right)=tan\theta$
   4. $d\left(\theta \right)=tan\theta +1$
   5. $e\left(\theta \right)=tan\theta +2$
   Gebruik jou resultate om die invloed van $q$ af te lei.
2. Op dieselfde assestelsel, trek die volgende grafieke:
   1. $f\left(\theta \right)=-2·tan\theta$
   2. $g\left(\theta \right)=-1·tan\theta$
   3. $h\left(\theta \right)=0·tan\theta$
   4. $j\left(\theta \right)=1·tan\theta$
   5. $k\left(\theta \right)=2·tan\theta$
   Gebruik jou resultate om die invloed van $a$ af te lei.

Ons vind dat die waarde van $a$ die steilheid van die bene van die grafiek beinvloed. Hoe groter die absolute waarde van a , hoe vinniger nader die bene die waardes van hulle asimptote, die waardes waar hulle nie gedefinieërd is nie. Negatiwe $\mathit{a}$ waardes keer die rigting waarin die bene van die grafiek loop, om. Ons vind verder dat die waarde van $q$ beïnvloed die vertikale verskuiwing net soos by $sin\theta$ and $cos\theta$ . Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in [link] .

	$a>0$	$a<0$
$q>0$
$q<0$

Domein en omvang

Die domein van $f\left(\theta \right)=atan\left(\theta \right)+q$ is al die waardes van $\theta$ sodat $cos\theta$ nie gelyk is aan 0 nie. Ons het reeds gesien dat as $cos\theta =0$ , $tan\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }$ ongedefinieerd is, want ons het deling deur nul. Ons weet dat $cos\theta =0$ vir alle $\theta ={90}^{\circ }+{180}^{\theta }n$ , waar $n$ 'n heelgetal is. Dus die gebied van $f\left(\theta \right)=atan\left(\theta \right)+q$ is alle waardes van $\theta$ , behalwe die waardes $\theta ={90}^{\circ }+{180}^{\circ }n$ .

Die omvang van $f\left(\theta \right)=atan\theta +q$ is $\left\{f\right(\theta ):f(\theta )\theta (-\infty ,\infty \left)\right\}$ .

Snypunte

Die $y$ -snypunt, $y_{int}$ , of $f\left(\theta \right)=atan\left(x\right)+q$ is slegs die waarde van $f\left(\theta \right)$ by $\theta =0^{\circ }$ .

Asimptote

Soos $\theta$ geleidelik naderkom aan ${90}^{\circ }$ , sal $tan\theta$ nader kom aan oneindig. Maar omdat $\theta$ ongedefinieërd is by ${90}^{\circ }$ , kan $\theta$ slegs al nader kom aan ${90}^{\circ }$ , maar nooit daarby uitkom nie. So, die $tan\theta$ grafiek kom nader en nader aan die lyn $\theta ={90}^{\circ }$ , sonder om dit ooit te ontmoet. Dus die lyn $\theta ={90}^{\circ }$ is 'n asimptoot van $tan\theta$ . $tan\theta$ het ook asimptote by $\theta ={90}^{\circ }+{180}^{\circ }n$ , waar $n$ 'n heelgetal is.

Grafieke van trigonometriese funksies

1. Deur you kennis van die invloed van $a$ en $q$ te gebruik, skets elk van die volgende grafieke, sonder om 'n tabel van waardes te gebruik, vir $\theta \in [0^{\circ };{360}^{\circ }]$
   1. $y=2sin\theta$
   2. $y=-4cos\theta$
   3. $y=-2cos\theta +1$
   4. $y=sin\theta -3$
   5. $y=tan\theta -2$
   6. $y=2cos\theta -1$
2. Gee die vergelykings van elk van die volgende grafieke:

   

   

   

Die volgende aanbieding som op wat jy tot dusver in die hoofstuk geleer het. Ignoreer die laaste skyfie.

Einde van hoofstuk oefeninge

1. Bereken die onbekende lengtes

   

2. In die driehoek $PQR$ , $PR=20$ cm, $QR=22$ cm en $P\widehat{R}Q={30}^{\circ }$ . Die loodregte lyn van $P$ to $QR$ sny $QR$ by $X$ . Bereken
   1. die lengte $XR$ ,
   2. die lengte $PX$ , en
   3. die hoek $Q\widehat{P}X$
3. 'n Leer van 15 m lank rus teen 'n muur, die basis van die leer is 5 m van die muur. Vind die hoek tussen die muur en die leer.
   
4. 'n Leer van 25 m rus teen 'n muur, die leer maak 'n hoek ${37}^{\circ }$ met die muur. Vind die afstand tussen die muur en die basis van die leer.
   
5. In die volgende driehoek vind die hoek $A\widehat{B}C$

   

6. In die volgende driehoek vind die lengte van sy $CD$

   

7. $A(5;0)$ and $B(11;4)$ . Vind die hoek tussen die lyn deur A en B en die x-as.
   
8. $C(0;-13)$ and $D(-12;14)$ . Vind die hoek tussen die lyn deur C en D en die y-as.
   
9. 'n $5\mathrm{m}$ Leer word geplaas $2\mathrm{m}$ van die muur. Wat is die hoek wat die leer met die muur maak?
   
10. Gegewe die punte: E(5;0), F(6;2) and G(8;-2), vind 'n hoek $F\widehat{E}G$ .
    
11. 'n Gelykbenige driehoek het sye $9\mathrm{cm},9\mathrm{cm}$ and $2\mathrm{cm}$ . Vind die grootste en kleinste hoeke van die driehoek.
    
12. 'n Reghoekige driehoek het 'n skuissy $13\mathrm{mm}$ . Vind die lengte van die ander twee sye as een van die hoeke van die driehoek ${50}^{\circ }$ is.
    
13. Een van die hoeke van 'n ruit ( ruit - 'n Viersydige veelhoek, waarvan elkeen van die sye van gelyke lengte is) met 'n omtrek $20\mathrm{cm}$ is ${30}^{\circ }$ .
    1. Vind die sye van die ruit.
    2. Vind die lengte van beide diagonale.
14. Kaptein Hook seil na 'n lighuis met 'n hoogte van $10\mathrm{m}$ .
    1. As die bopunt van die lighuis $30\mathrm{m}$ weg is, wat is die hoogtehoek van die boot tot die naaste heelgetal?
    2. As die boot nog $7\mathrm{m}$ nader aan die lighuis beweeg, wat is die nuwe hoogtehoek van die boot tot die naaste heelgetal?
15. (Kopkrapper) 'n Driehoek met hoeke ${40}^{\circ },{40}^{\circ }$ en ${100}^{\circ }$ het 'n omtrek van $20\mathrm{cm}$ . Vind die lengte van elke sy van die driehoek.