0.5 Tính ổn định của hệ thống

Đại cương.

Có nhiều đặc tính được dùng trong thiết kế hệ thống tự kiểm. nhưng yêu cầu quan trọng nhất, đó là hệ thống có ổn định theo thời gian hay không?

Nói chung, tính ổn định được dùng để phân biệt hai loại hệ thống: hữu dụng và vô dụng. trên quan điểm thực tế, ta xem một hệ thống ổn định thì hữu dụng, trong khi một hệ thống bất ổn thì vô dụng.

Đối với nhiều hệ thống khác nhau: tuyến tính, phi tuyến, không đổi theo thời gian và thay đổi theo thời gian, tính ổn định có thể được định nghĩa theo nhiều hình thức khác nhau. trong chương này, ta sẽ chỉ xét tính ổn định của những hệ tuyến tính, không đổi theo thời gian.

Một cách trực giác, tính ổn định của một hệ là khả năng quay trở về trạng thái ban đầu sau khi đã lệïch khỏi trạng thái này, khi tác động của các nguồn kích thích từ bên ngoài(hay các nhiểu) chấm dứt.

Định nghĩa tính ổn định

Một hệ thống là ổn định nếu đáp ứng xung lực giảm tới zero khi thời gian tiến tới vô cực.

* Thí dụ 6.1: cho đáp ứng xung lực của vài hệ điều khiển sau đây. Trong mỗi trướng hợp, hãy xác định tính ổn định của hệ thống.

a) g(t) = e-t.

b) g(t) = t.e-t.

c) g(t) = 1.

d) g(t) = e-t.sin3t.

e) g(t) = sint.

H.6_1.

Theo định nghĩa, hệ thống:

a) ổn định.

b) ổn định.

c) bất ổn.

d) ổn định.

1. bất ổn. $$

Khai triển phân bố từng phần (parial fraction expansion)

Có thể tìm đáp ứng xung lực của một hệ thống bằng cách lấy biến đổi laplace ngược hàm chuyễn của hệ.

Và để không phải dùng đến tích phân biến đổi laplace ngược.

$f(t)=\frac{1}{\mathrm{2\pi j}}\underset{c-j\infty }{\overset{c+j\infty }{\int }}F(s)e^{\text{st}}\text{dt}$

ta có thể dùng phương pháp khai triển phân số từng phần

Xem hàm chuyển G(s) = C(s)/ R(s). (6.1)

Trong đó, C(s) và R(s) là những đa thức theo s. Giả sữ R(s) có bậc lớn hơn C(s). Đa thức R(s) gọi là đa thức đặc trưng và có thể viết:

R(s) = sn + a1sn-1 +....+an-1s +an. (6.2)

Trong đó, a1,...an là những hệ số thực.

Những nghiệm của phương trình đặc trưng R(s) = 0 có thể là thực, hay những cặp phức liên hợp đơn hay đa cấp (có lũy thừa hay không).

Ta xem trường hợp những nghiệm này thực và đơn cấp, phương trình (6.1) có thể được viết:

$$

$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{C(s)}{(s+s_1)(s+s_2)\text{.}\text{.}\text{.}(s+s_n)}$ (6.3)

Trong đó, -s1, -s2,....-sn là những nghiệm của phương trình đặc trưng zero của R(s) hay là những cực của G(s).

$G(s)=\frac{k_{s_1}}{s+s_1}+\frac{k_{s_2}}{s+s_2}+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{k_{s_n}}{s+s_n}$ $$ (6.4)

Những hệ số Ksi (i=1, 2, 3,...n) được xác định bằng cách nhóm 2 vế của (6.3) hoặc (6.4) cho (s+si) rồi đặt s = -si.

Thí dụ, để tìm hệ số Ks1, ta nhóm cả hai vế (6.3) cho (s+s1) và đặt s = -s1.

$K_{\mathrm{S1}}={\left[(s+s_1)\frac{C(s)}{R(s)}\right]}_{S=-\mathrm{S1}}=\frac{C(-s_1)}{(s_2-s_1)(s_3-s_1)\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}(s_n-s_1)}$ (6.5)

* thí dụ 6.2: xem hàm chuyển của một hệ thống.

$G(s)=\frac{\mathrm{5s}+3}{(s+1)(s+2)(s+3)}$ (6.6).

Hãy tìm đáp ứng xung lực của hệ.

Trước hết, ta áp dụng kỹ thuật khai triển phân số từng phần.

$G(s)=\frac{K_{-1}}{s+1}+\frac{K_{-2}}{s+2}+\frac{K_{-3}}{s+3}$ (6.7)

các hệ số K-1, K-2, K-3 được xác định như sau:

$K_{-1}={\left[(s+1)G(s)\right]}_{S=-1}=\frac{5(-1)+3}{(-1+2)(-1+3)}=-1$

$K_{-2}={\left[(s+2)G(s)\right]}_{S=-2}=\frac{5(-2)+3}{(-2+1)(-2+3)}=7$

$K_{-3}={\left[(s+3)G(s)\right]}_{S=-3}=\frac{5(-3)+3}{(-3+1)(-3+2)}=-6$