2.3 Die vind van die vergelyking

Hoe om 'n vergelyking te kry as sy wortels bekend is

Ons het reeds genoem dat die wortels van 'n kwadratiese vergelyking die oplossing of antwoorde is wat jy kry deur die kwadratiese vergelyking op te los. Deur terug te werk vanaf die antwoorde, sal jy 'n vergelyking kry.

Teorie van kwadratiese vergelykings - gevorderd

Hierdie afdeling is nie in die leerplan nie, maar dit gee mens 'n goeie begrip van party van die oplossings van die kwadratiese vergelykings.

Wat is die diskriminant van 'n kwadratiese vergelyking?

Beskou 'n algemene kwadratiese funksie in die form $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ . Die diskriminant word gedefinieer as:

Hierdie is die uitdrukking onder die vierkantswortel in die formule vir die wortels van die funksie. Ons het reeds gesien dat of die wortels bestaan ​​of nie daarvan afhang of die faktor $\Delta$ negatief of positief is nie.

Die aard van die wortels

Real roots ( $\Delta \ge 0$ )

Beskou $\Delta \ge 0$ vir 'n kwadratiese funksie in die vorm $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ . In hierdie geval is daar oplossing vir die vergelyking $f\left(x\right)=0$ gegee deur die formule

As die uitdrukking onder die vierkantswortel nie-negatief is, dan bestaan die vierkantswortel. Hierdie is die wortels van die funksie $f\left(x\right)$ .

Die verskillende moontlikhede word opgesom in die figuur hieronder.

Gelyke wortels ( $\Delta =0$ )

As $\Delta =0$ , dan is die wortels gelyk, en vanaf die formule word dit gegee deur

Ongelyke wortels ( $\Delta >0$ )

Daar sal 2 ongelyke wortels wees as $\Delta >0$ . Die wortels van $f\left(x\right)$ is rationaal as $\Delta$ 'n volmaakte vierkant ('n getal wat die vierkant van 'n rasionale getal is) is. Die rede is dat in hierdie geval $\sqrt{\Delta }$ rasionaal is. Anders, as $\Delta$ nie 'n volmaakte vierkant is nie, dan is the wortels irrasionaal .

Imaginêre wortels ( $\Delta <0$ )

As $\Delta <0$ , dan bevat die oplossing van $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c=0$ die vierkantswortels van 'n negatiewe getal en daarom is daar geen reële oplossings nie. Ons sê daarom dat die wortels van $f\left(x\right)$ imaginêr is (die grafiek van die funksie $f\left(x\right)$ sny nie die $x$ -as nie).

Teorie van kwadrate - gevorderde oefeninge

Vanaf ou vraestelle

1. [IEB, Nov. 2001, HG] Gegee: $x^2+bx-2+k(x^2+3x+2)=0(k\ne -1)$
   1. Wys dat die diskriminant gegee word deur
      $$\Delta =k^2+6bk+b^2+8$$
   2. As $b=0$ , bespreek die aard van die wortels van die vergelyking.
   3. As $b=2$ , kry die waarde(s) van $k$ waarvoor die wortels gelyk is.
2. [IEB, Nov. 2002, HG] Wys dat $k^2{x}^2+2=kx-x^2$ nie-reële wortels het vir alle reele waardes van $k$ .
3. [IEB, Nov. 2003, HG] Die vergelyking $x^2+12x=3k{x}^2+2$ het reële wortels.
   1. Kry die grootste heeltallige waarde van $k$ .
   2. Kry een rasionale waarde van $k$ waarvoor die bostaande vergelyking rasionale wortels het.
4. [IEB, Nov. 2003, HG] In die kwadratiese vergelyking $p{x}^2+qx+r=0$ is $p$ , $q$ en $r$ positiewe reële getalle en vorm 'n meetkundige ry. Bespreek die aard van die wortels.
5. [IEB, Nov. 2004, HG] Beskou die vergelyking
   $$k={\displaystyle \frac{x^2-4}{2x-5}}\mathrm{met}x\ne \frac{5}{2}$$
   1. Kry 'n waarde van $k$ waarvoor die wortels gelyk is.
   2. Kry 'n heelgetal $k$ waarvoor die wortels van die vergelyking rasionaal en ongelyk is.
6. [IEB, Nov. 2005, HG]
   1. Bewys dat die wortels van die vergelyking $x^2-(a+b)x+ab-p^2=0$ reëel is vir alle reële waardes van $a$ , $b$ en $p$ .
   2. Wanneer sal die wortels van die vergelyking gelyk wees?
7. [IEB, Nov. 2005, HG] As $b$ en $c$ slegs die waardes 1, 2 of 3 kan aanneem, bepaal alle pare ( $b;c$ ) sodat $x^2+bx+c=0$ reële wortels het.

Hoofstukoefeninge

1. Los op: $x^2-x-1=0$ (Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.)
2. Los op: $16(x+1)=x^2(x+1)$
3. Los op: $y^2+3+{\displaystyle \frac{12}{y^2+3}}=7$ (Wenk: Stel $y^2+3=k$ . Los eerste vir $k$ op and gebruik die antwoord om $y$ op te los.)
4. Los op vir $x$ : $2x^4-5x^2-12=0$
5. Los op vir $x$ :
   1. $x(x-9)+14=0$
   2. $x^2-x=3$ (Wys jou antwoord korrek tot EEN desimale plek.)
   3. $x+2={\displaystyle \frac{6}{x}}$ (korrek tot twee desimale plekke)
   4. ${\displaystyle \frac{1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{2x}{x-1}}=1$
6. Los op vir $x$ deur kwadraatsvoltooiing: $x^2-px-4=0$
7. Die vergelyking $a{x}^2+bx+c=0$ het wortels $x=\frac{2}{3}$ en $x=-4$ . Kry een stel moontlike waardes vir $a$ , $b$ en $c$ .
8. Die twee wortels van die vergelyking $4x^2+px-9=0$ verskil met 5. Bereken die waarde van $p$ .
9. 'n Vergelyking van die vorm $x^2+bx+c=0$ word geskryf op die bord. Saskia en Sven skryf dit verkeerd af. Saskia het 'n fout in die konstante term en kry die oplossings -4 en 2. Sven het 'n fout in die koëffisiënt van $x$ en kry die oplossings 1 en -15. Bepaal die korrekte vergelyking wat op die bord was.
10. Bjorn kom in 'n oorsese handboek af op die volgende formule om die kwadratiese vergelyking $a{x}^2+bx+c=0$ op te los.
    $$x={\displaystyle \frac{2c}{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}}$$
    1. Gebruik hierdie formule om die volgende vergelyking op te los:
       $$2x^2+x-3=0$$
    2. Los die vergelyking weer op, die keer deur faktorisering, om te sien of die formule werk vir hierdie vergelyking.
    3. Bjorn probeer om hierdie formule af te lei om te bewys dat dit altyd werk, maar sit na 'n paar stappe vas. Hieronder is sy poging:
       $$\begin{array}{cccc}\hfill a{x}^2+bx+c& =& 0\hfill & \\ \hfill a+{\displaystyle \frac{b}{x}}+{\displaystyle \frac{c}{x^2}}& =& 0\hfill & \mathrm{Deel\; deur}{\mathrm{x}}^2\mathrm{waar}\mathrm{x}?0\\ \hfill {\displaystyle \frac{c}{x^2}}+{\displaystyle \frac{b}{x}}+a& =& 0\hfill & \mathrm{Herrangskik}\\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{b}{cx}}+{\displaystyle \frac{a}{c}}& =& 0\hfill & \mathrm{Deel\; deur}\mathrm{c}\mathrm{waar}\mathrm{c}?0\\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{b}{cx}}& =& -{\displaystyle \frac{a}{c}}\hfill & \mathrm{Trek}{\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}}\mathrm{af\; van\; beide\; kante}\\ \hfill ?{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{b}{cx}}& +& ...\hfill & \mathrm{Sit\; vas}\end{array}$$
       Voltooi sy afleiding.