Exponente

Eksponente - graad 11

Inleiding

In Graad 11 het ons eksponensiële getalle bestudeer en ons het die ses wette geleer wat bewerking met eksponensiële getalle baie makliker gemaak het. Daar is een wet wat ons nie in Graad 11 gedoen het nie. Dit sal ons hier beskryf.

Wette van eksponente

In Graad 11 het ons net met indekse gewerk wat in heelgetalle was. Wat gebeur is die indeks nie 'n heelgetal is nie, maar 'n rasionele getal? Dit lei ons na die finale wet van eksponente,

Eksponensiële wet 7: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Ons sê dat $x$ is 'n $n$ de wortel van $b$ as $x^n=b$ en ons kan skryf $x=\sqrt[n]{b}$ . $n^{\mathrm{de}}$ wortels geskryf met die radikale simbool, $\sqrt{}$ , word verwys as wortelvorme. Byvoorbeeld, ${(-1)}^4=1$ , so $-1$ is 'n 4de wortel van 1. Waneer ons wet 6 gebruik sien ons dat,

dus $a^{\frac{m}{n}}$ moet 'n $n$ de wortel van $a^m$ wees. Ons kan dus sê,

Byvoorbeeld,

'n Getal mag nie altyd 'n rasionele $n$ de wortel hê nie. Byvoorbeeld, as $n=2$ en $a=-1$ , dan is daar geen rasionele getal so dat $x^2=-1$ omdat $x^2\ge 0$ vir alle rasionele getalle van $x$ .

Komplekse getalle

Daar is getalle wat probleme kan oplos soos $x^2=-1$ , maar dit is buite die omvang van hierdie boek. Hulle word genoem komplekse getalle .

Dit is ook moentlik vir meer as een $n$ de wortel vir 'n gegewe getal om te bestaan. Byvoorbeeld, ${(-2)}^2=4$ en $2^2=4$ , so beide -2 en 2 is 2de (vierkants) wortels van 4. Gewoonlik, as daar meer as een wortel is, dan kies ons die positiewe reële getal en ons gaan aan.

Toepassing van wette

Gebruik al die wette om:

1. Vereenvoudig:

   (a) $\left(x^0\right)+5x^0-{(0,25)}^{-0,5}+8^{\frac{2}{3}}$	(b) $s^{\frac{1}{2}}÷s^{\frac{1}{3}}$
   (c) $\frac{12m^{\frac{7}{9}}}{8m^{-\frac{11}{9}}}$	(d) ${\left(64m^6\right)}^{\frac{2}{3}}$

2. Her-skryf die volgende uitdrukking as 'n krag van $x$ :
   $$x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}$$

Eksponensiële in die werklike wêreld

In Graad 10 Finansies, het julle eksponensiële gebruik om verskillende tipe rente te bereken. Byvoorbeeld op 'n spaarrekening of op 'n lening en saamgestelde groei.

Einde van hoofstuk oefeninge

1. Vereenvoudig so ver as moontlik:
   1. $8^{-\frac{2}{3}}$
   2. $\sqrt{16}+8^{-\frac{2}{3}}$
2. Vereenvoudig:

   (a) ${\left(x^3\right)}^{\frac{4}{3}}$	(b) ${\left(s^2\right)}^{\frac{1}{2}}$
   (c) ${\left(m^5\right)}^{\frac{5}{3}}$	(d) ${(-m^2)}^{\frac{4}{3}}$
   (e) $-{\left(m^2\right)}^{\frac{4}{3}}$	(f) ${\left(3y^{\frac{4}{3}}\right)}^4$

3. Vereenvoudig so veel as wat jy kan:
   $$\frac{3a^{-2}{b}^{15}{c}^{-5}}{{\left(a^{-4},b^3,c\right)}^{\frac{-5}{2}}}$$
4. Vereenvoudig so veel as wat jy kan:
   $${\left(9,a^6,b^4\right)}^{\frac{1}{2}}$$
5. Vereenvoudig so veel as wat jy kan:
   $${\left(a^{\frac{3}{2}},b^{\frac{3}{4}}\right)}^{16}$$
6. Vereenvoudig:
   $$x^3\sqrt{x}$$
7. Vereenvoudig:
   $$\sqrt[3]{x^4{b}^5}$$
8. Herskryf die volgende uitdrukking as 'n krag van $x$ :
   $$\frac{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}}{\sqrt[3]{x}}$$