Inleiding en kernbegrippe  (Page 4/4)

Die definisieversameling (ook bekend as die gebied) van ’n relasie is die stel $x$ waardes waarvoor daar te minste een $y$ waarde bestaan. Die waardeversameling (ook bekend as die terrein) is die stel $y$ waardes wat bepaal kan word deur ten minste een $x$ waarde. Anders gestel, die definisieversameling is alle moontlike insette en die waardeversameling is alle moontlike uitsette.

’n Ander voorbeeld is $y=2^x$ . Vir enige waarde van $x$ is daar ’n waarde vir $y$ ; die definisieversameling is dus alle reële getalle. Maar ons weet die waarde van $y=2^x$ kan nooit kleiner of gelyk aan 0 wees nie. Gevolglik is die waardeversameling alle reële getalle groter of gelyk aan 0.

Daar is twee maniere om definisie- en waardeversameling van ’n funksie te beskryf, versamelingkeurdernotasie en intervalnotasie . Albei word gebruik in wiskunde en jy sal bekend moet wees met altwee.

Versamelkeurdernotasie

’n Versameling van sekere $x$ waardes het die volgende vorm:

Ons lees hierdie notasie as “die stel van alle $x$ waarvoor die voorwaardes waar is”. Byvoorbeeld, die stel van alle positiewe reële getalle kan geskryf word as $\{x:x\in \mathbb{R},x>0\}$ en dit word gelees as “die stel van alle $x$ waardes, waar $x$ ’n reële getal groter as nul is.”

Intervalnotasie

Hier skryf ons ’n interval in die vorm ' laer hakie, laer getal, kommapunt, hoër getal, hoër hakie '. Ons gebruik twee tipes hakies, reghoekige hakies $[;]$ of ronde hakies $(;)$ . ’n Reghoekige hakie beteken die getal word ingesluit by die interval en ’n ronde hakie beteken die getal word uitgesluit uit die interval. Hierdie notasie kan nie gebruik word om heelgetalle in ’n interval te beskryf nie.

Indien $x$ ’n reële getal is groter as 2 en kleiner of gelyk aan 8, is $x$ enige getal in die interval.

Dit is duidelik dat 2 die laer getal is en 8 die hoër getal is. Die ronde hakie sluit 2 uit, omdat $x$ groter as 2 is; die reghoekige hakie sluit 8 in, omdat $x$ kleiner of gelyk aan 8 is.

Afsnitte met die asse

Die afsnitte is die punte waar die grafiek die asse sny. Die $x$ -afsnitte is die punte waar die grafiek die $x$ -as sny en die $y$ -afsnit is die punt waar die grafiek die $y$ -as sny.

In [link] (a), is A die $y$ -afsnit en B, C en F is $x$ -afsnitte.

Jy sal die afsnitte moet uitwerk. Die heel belangrikste ding om te onhou, is dat die $x$ -afsnit by $y=0$ lê en die $y$ -afsnit by $x=0$ .

Byvoorbeeld, bereken die afsnitte van $y=3x+5$ . Vir die $y$ -afsnit is $x=0$ . Dan is die $y$ -afsnit $y_{int}=3\left(0\right)+5=5$ . Vir die $x$ -afsnit $y=0$ . Dan word die $x$ -afsnit bereken deur $0=3x_{int}+5$ op te los, met die antwoord $x_{int}=-\frac{5}{3}$ .

Draaipunte

Draaipunte kom net voor in grafieke van funksies waar die hoogste mag groter as 1 is. Byvoorbeeld, grafieke van die volgende funksies sal draaipunte hê:

Daar is twee tipes draaipunte: ’n minimum en ’n maksimum. ’n Minimum is ’n punt op ’n grafiek waar die grafiek ophou verminder en begin vermeerder. ’n Maksimum is ’n punt op ’n grafiek waar die grafiek ophou vermeerder en begin verminder. Hierdie word geïllustreer in [link] .

In [link] (a) is E ’n maksimum draaipunt en D ’n minimum draaipunt.

Asimptote

’n Asimptoot is ’n reguit of krom lyn, wat die grafiek sal benader, maar nooit raak nie.

In [link] (b), die $y$ -as en die lyn $h$ is albei asimptote, omdat die grafiek die lyne benader, maar nooit raak nie.

Lyne van simmetrie

’n Grafiek weerspieël homself in ’n simmetrielyn. Hierdie lyne mag die $x$ - en $y$ - asse insluit. Byvoorbeeld, in [link] is die simmetrie om die $y$ -as. Die $y$ -as is ’n simmetrie-as, omdat die grafiek gereflekteer word in die $y$ -as. Nie elke grafiek het ’n simmetrielyn nie.

Intervalle waar funksies vermeerder of verminder

Toe ons na draaipunte gekyk het, het ons gesien dat grafieke van ’n funksie kan begin of ophou vermeerder of verminder by ’n draaipunt. As ons na die grafiek van [link] (a) kyk, kan ons sien dat die grafiek vermeerder en verminder oor verskillende intervalle. Ons kan sien die grafiek se waarde neem af (die $y$ -waardes verminder) van punt E tot punt D en dan vermeerder dit van punt D tot $+\infty$ .

Diskrete en kontinue gedrag van ’n grafiek

’n Grafiek is kontinu as daar geen spronge in die grafiek is nie. Byvoorbeeld, die grafiek in [link] (a) word beskryf as kontinu, terwyl die grafiek in [link] (b) ’n breek het by die asimptoot, wat beteken dit is diskontinu (diskreet).

Waardeversameling en definisieversameling

1. Indien die waardeversameling van die funksie $f\left(x\right)=2x+5$ (-3; 0) is. Bepaal die definisieversameling van $f$ .
2. As $g\left(x\right)=-x^2+5$ en $x$ is tussen - 3 and 3, bepaal:
   1. die waardeversameling van $g\left(x\right)$
   2. die definisieversameling van $g\left(x\right)$
3. Dui op die onderstaande grafiek die volgende aan:
   1. die $x$ -afsnit(te)
   2. die $y$ -afsnit(te)
   3. die deel waar die grafiek vermeerder
   4. die deel waar die grafiek verminder

   

4. Dui op die onderstaande grafiek die volgende aan:
   1. die $x$ -afsnit(te)
   2. die $y$ -afsnit(te)
   3. die deel waar die grafiek vermeerder
   4. die deel waar die grafiek verminder