0.5 Tính ổn định của hệ thống  (Page 3/4)

Vì vậy, trong thực tế phân giãi tính ổn định cho hệ thống, người ta có thể dùng phương pháp sau đây mà không cần đến việc giãi các phương trình đặc trưng.

1. Tiêu chuẩn ROUTH và HURWITZ : là một phương pháp đại số, cho dữ kiện về tính ổn định tuyệt đối của một hệ tuyến tính không đổi theo thời gian. Các tiêu chuẩn này sẽ thử đễ chỉ có bao nhiêu nghiệm của phương trình đặc trưng nằm ở nữa trái, nữa phải và trên trục ảo.
2. Đồ hình quĩ tích nghiệm số (Root Locus Plot): trình bày một đồ hình của quĩ tích các nghiệm của phương trình đặc trưng khi một thông số nào đó của hệ thống bị thay đổi. Khi quĩ tích nghiệm số nằm trên nữa phải mặt phẳng s, hệ thống vòng kính bị bất ổn.
3. Tiêu chuẩn NYQUIST : là một phương pháp bán - đồ - họa (Semi graphical), cho dữ kiện trên sự khác biệt giữa số cực và zero của hàm chuyễn vòng kín bằng cách quan sát hình trạng của đồ hình NYQUIST. Phương pháp này cần biết vị trí tương đối của các zero.
4. Sơ đồ Bode : sơ đồ Bode của hàm chuyễn vòng kín G(s) H(s) có thể được dùng để xác định tính ổn định của hệ vòng kín. Tuy nhiên, chỉ có thể dùng khi G(s) H(s) không có các cực và zero trong nữa phải mặt phẳng s.
5. Tiêu chuẩn LYAPUNOV : là phương pháp xác định tính ổn định của hệ phi tuyến, nhưng vẫn có thể áp dụng cho các hệ tuyến tính. Sự ổn định của hệ được xác định bằng cách kiểm tra các tính chất của hàm Lyapunov.

Tiêu chẩn ổn định routh

Tiêu chuẩn Routh có thể xác định tính ổn định của hệ mà phương trình đặc trưng đến bậc n.

ansn + an-1sn-1 + ….. + a1s + a0 = 0

Tiêu chuẩn này được áp dụng bằng cách dùng bảng Routh định nghĩa như sau :

sn anan-2an-4 … …

sn-1 an-1an-3an-5 … …

. b1b2b3 … …

. c1c2c3 … …

. . . . … …

Trong đó an , an-1 , …… , a0 là các hệ số của phương trình đặc trưng, và :

$\begin{array}{}{b}_1\equiv \frac{a_{n-1}{a}_{n-2}-a_n{a}_{n-3}}{a_{n-1}}{b}_2\equiv \frac{a_{n-1}{a}_{n-4}-a_n{a}_{n-5}}{a_{n-1}}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}v\text{.}\text{.}\text{.}v\\ c_1\equiv \frac{b_1{a}_{n-3}-a_{n-1}{b}_2}{b_1}{c}_2\equiv \frac{b_1{a}_{n-5}-a_{n-1}{b}_3}{b_1}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}v\text{.}\text{.}\text{.}v\end{array}$

Bảng được tiếp tục theo chiều ngang chiều dọc cho đến khi được toàn zero.

Tấc cả nghiệm của phương trĩnh đặc trưng có phần thực âm nếu và chỉ nếu các phần tử ở cột thứ nhất của bảng Routh có cùng dấu (không đổi dấu). Nói cách khác số nghiệm có phần thực dương bằng với số lần đổi dấu.

* Thí dụ 6 -6 : Hệ thống có phương trình đặc trưng

s3 + 6s2 + 12s + 8 = 0

Xét tính ổn định

Bảng Routh :

s3 1 12 0

s2 6 8 0

s1 $\frac{\text{64}}{6}$ 0

s0 8

vì không có đổi dấu ở cột thứ nhất, nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực âm. Vậy hệ ổn định.

* Thí dụ 6 -7 : Phương trình đặc trưng của một hệ thống là :

s3 + 3s2 + 3s + 1 + k = 0

Hãy xác định điều kiện để hệ ổn định

Bảng Routh :

s3 1 3 0

s2 3 1+k 0

s1 $\frac{8-k}{3}$ 0

s0 1+k

Để hệ ổn định, cần có sự không đổi dấu ở cột 1. Vậy các điều kiện là :

8-k>0 và 1+k>0

vậy phương trình đặc trưng có các nghiệm với phần thực âm nếu :

-1<k<8

* Thí dụ 6 -8 : Lập bảng Routh và xác định số nghiệm có phần thực dương của phương trình đặc trưng

2s3 + 4s2 + 4s + 12 = 0

Bảng Routh :

s3 24 0 Hàng s2 được chia 4 trước khi

s2 1 3 0 tính hàng s1. Hàng s1 được chia

s1-1 0 2 trước khi tính hàng s0

s0 3

Vì có hai lần đổi dấu ở cột 1, nên phương trình trên có hai nghiệm có phần thực dương.

* Thí dụ 6 -9 : Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng :