1.4 Eksponensiële funksies

Funksies van die vorm $y=a{b}^{\left(x\right)}+q$

Funksies van die vorm $y=a{b}^{\left(x\right)}+q$ is bekend as eksponensiële funksies. Die algemene vorm van ‘n funksie van hierdie tipe word gewys in [link] .

Ondersoek: funksies van die vorm $y=a{b}^{\left(x\right)}+q$

1. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende grafieke:
   1. $a\left(x\right)=-2.b^{\left(x\right)}+1$
   2. $b\left(x\right)=-1.b^{\left(x\right)}+1$
   3. $c\left(x\right)=-0.b^{\left(x\right)}+1$
   4. $d\left(x\right)=-1.b^{\left(x\right)}+1$
   5. $e\left(x\right)=-2.b^{\left(x\right)}+1$
   Gebruik jou antwoorde om 'n gevolgtrekking ten opsigte van die invloed van $a$ te maak.
2. Op dieselfde assestelsel, skets die volgende grafieke:
   1. $f\left(x\right)=1.b^{\left(x\right)}-2$
   2. $g\left(x\right)=1.b^{\left(x\right)}-1$
   3. $h\left(x\right)=1.b^{\left(x\right)}+0$
   4. $j\left(x\right)=1.b^{\left(x\right)}+1$
   5. $k\left(x\right)=1.b^{\left(x\right)}+2$
   Gebruik jou antwoorde om 'n gevolgtrekking ten opsigte van die invloed van $q$ te maak.

Jy sou gevind het dat die waarde van $a$ bepaal die vorm van die grafiek, dit wil sê: “Curves Upwards” – “CU” ( $a>0$ ) of “Curves Downwards” – “CD” ( $a<0$ ).

Jy sou ook gevind het die waarde van $q$ bepaal die posisie van die $y$ -afsnit.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in [link] .

	$a>0$	$a<0$
$q>0$
$q<0$

Definisieversameling en waardeversameling

Vir $y=a{b}^{\left(x\right)}+q$ , is die funksie gedefinieer vir alle reële waardes van $x$ . Dus, die definisieversameling is $\{x:x\in \mathbb{R}\}$ .

Die waardeversameling van $y=a{b}^{\left(x\right)}+q$ word bepaal deur die teken van $a$ .

As $a>0$ dan:

Dus, as $a>0$ , dan is die waardeversameling $\left\{f\right(x):f(x)\in [q;\infty \left)\right\}$ .

As $a<0$ dan:

Dus, as $a<0$ , dan is die waardeversameling $\left\{f\right(x):f(x)\in (-\infty ;q\left]\right\}$ .

Byvoorbeeld, die definisieversameling van $g\left(x\right)=3.2^x+2$ is $\{x:x\in \mathbb{R}\}$ . Vir die waardeversameling,

Dus is die waardeversameling $\left\{g\right(x):g(x)\in [2;\infty \left)\right\}$ .

Afsnitte

Vir funksies van die vorm, $y=a{b}^{\left(x\right)}+q$ , word die afsnitte met die $x$ en $y$ -as bereken deur $x=0$ te stel vir die $y$ -afsnit en deur $y=0$ te stel vir die $x$ -afsnit.

Die $y$ -afsnit word as volg bereken:

Byvoorbeeld, die $y$ -afsnit van $g\left(x\right)=3.2^x+2$ word gegee deur $x=0$ te stel, om dan te kry:

Die $x$ -afsnitte word bereken deur $y=0$ te stel, soos volg:

Dit het net ‘n rëele oplossing as een van beide $a<0$ of $q<0$ . Anders, het die grafiek van die vorm $y=a{b}^{\left(x\right)}+q$ geen $x$ -afsnitte.

Byvoorbeeld, die $x$ -afsnit van $g\left(x\right)=3.2^x+2$ word gegee deur $y=0$ te stel:

en dit het geen rëele oplossing nie. Dus, die grafiek van $g\left(x\right)=3.2^x+2$ het geen $x$ -afsnitte nie.

Asimptote

Daar is een asimptoot vir funksies van die vorm $y=a{b}^{\left(x\right)}+q$ . Die asimptoot kan bepaal word deur die analise van die waardeversameling.

Ons het gesien dat die terrein bepaal word deur die waarde van q. As $a>0$ , dan is die terrein $\left\{f\right(x):f(x)\in [q;\infty \left)\right\}$ .

Dit wys dat die funksiewaarde neig na die waarde van q as x\to ()∞ . Dus die horisontale asimptoot lê by $y=q$ .

Sketse van grafieke van die vorm $f\left(x\right)=a{b}^{\left(x\right)}+q$

Om grafieke te skets van funksies van die vorm, $f\left(x\right)=a{b}^{\left(x\right)}+q$ , moet ons vier eienskappe bereken:

1. Definisieversameling en Waardeversameling
2. $y$ -afsnit
3. $x$ -afsnit

Byvoorbeeld, skets die grafiek van $g\left(x\right)=3.2^x+2$ . Merk die afsnitte.

Ons het die definisieversameling bepaal om $\{x:x\in \mathbb{R}\}$ te wees en die waardeversameling om $\left\{g\right(x):g(x)\in (2,\infty \left)\right\}$ te wees.