0.3 Trạng thái của hệ thống  (Page 2/4)

$r_1(t)$ ., $r_2(t)$ , … , $r_p(t)$ là các input

$f_i$ : hàm tuyến tính thứ i.

Các output của hệ thống liên hệ với các biến trạng thái và các input qua biểu thức sau.

$C_kt=g_k\left[x_1(t),x_2(t)\text{,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{,}{x}_n(t)\text{,}{r}_1(t),r_2(t)\text{,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{,}{r}_p(t)\right]$ (4.2)

(k =1,2, … ,q)

$g_k$ : hàm tuyến tính thứ k .

Phương trình (4.2) gọi là phương trình output của hệ. Phương trình trạng thái và phương trình output gọi chung là các phương trình động của hệ.

Thí dụ, xem một hệ tuyến tính với một input và một output được mô tả bởi phương trình vi phân :

$\frac{d^{3}c(t)}{{\text{dt}}^3}+2\frac{d^{2}c(t)}{{\text{dt}}^2}+3\frac{\text{dc}(t)}{\text{dt}}+C(t)=2r(t)$ (4.3)

$C(t)$ : output ; $r(t)$ : input.

• Hàm chuyển mô tả hệ thống dễ dàng có được bằng cách lấy biến đổi Laplace ở hai vế, với giả sử các điều kiện đầu bằng 0.

$\frac{CS}{RS}=\frac{2}{S^3+{\mathrm{2S}}^2+\mathrm{3S}+1}$ (4.4)

• Ta sẽ chứng tõ rằng hệ thống còn có thể mô tả bởi một tập hợp các phương trình động như sau :

Trước nhất, ta định nghĩa các biến trạng thái

$x_1t=Ct$ (4.5) phương trình output

Phương trình trạng thái $x_2t={\dot{x}}_1t=\dot{C}t$ (4.6)

$x_3t{=\dot{}x}_2t=\dot{C}t$ (4.7 )

Trong đó $\dot{x_1}=\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}}$ và $\dot{x_2}=\frac{{\text{dx}}_2}{\text{dt}}$ .

$\dot{C}=\frac{\text{dc}}{\text{dt}}$

Phương trình 4.3 được sắp xếp lại sau cho đạo hàm bậc cao nhất ở vế trái:

$\begin{array}{}\stackrel{\cdots }{C}t=-2\ddot{c}t-3\dot{}ct-ct+2rt\\ \end{array}$ (4.8)

Bây giờ phương trình 4.6 và 4.7, thay thế các hệ thức định nghĩa của biến trạng thái vào 4.8 . Ta sẽ có những phương trình trạng thái:

$\dot{x_1}t=x_2t$ (4.9a)

$\dot{x_2}t=x_3t$ (4.9b)

$\dot{x_3}t=-x_1t-{\mathrm{3x}}_2t-{\mathrm{2x}}_3t+\mathrm{2r}t$ (4.9c)

Chỉ có phương trình (4.9c) là tương đương phương trình ban đầu (4.3). còn hai phương trình kia chỉ là phương trình định nghĩa biến trạng thái.

Trong trường hợp này, output c(t) cũng được định nghĩa như là biến trạng thái x1(t), (không phải luôn luôn như vậy). Vậy phương trình (4.5) là phương trình output.

Tổng quát hơn, nếu áp dụng phương phương pháp mô tả ở trên, thì phương trình vi phân cấp n:

$\begin{array}{}+a_{n}ct=rt\\ +\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n-1}\frac{\text{dc}t}{\text{dt}}\\ +a_1\frac{d^{n-1}ct}{{\text{dt}}^{n-1}}\\ \frac{d^{n}ct}{{\text{dt}}^n}\\ \end{array}$ (4.10)

Sẽ được trình bày bởi các phương trình trạng thái sau :

$\begin{array}{}\dot{x_1}t=x_2t\\ \dot{x_2}t=x_3t\\ ⋮⋮\\ \dot{x_{n-1}}t=x_nt\\ {\dot{x}}_nt=-a_n{x}_1t-a_{n-1}{x}_2t-\cdots -a_2{x}_{n-1}t-a_1{x}_1t+rt\end{array}$ ( 4.11)

Và phương trình output giản dị là :

$Ct=x_1t$ (4.12)

Phương pháp định nghĩa các biến trạng thái được mô tả ở trên không thích hợp khi vế phải của (4.10) có chứa những đạo hàm của r(t).

(4.13) $\begin{array}{}\frac{d^{n}ct}{{\text{dt}}^n}+a_1\frac{d^{n-1}ct}{{\text{dt}}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}\frac{\text{dc}t}{\text{dt}}+a_{n}ct=b_0\frac{d^{n}rt}{{\text{dt}}^n}+b_1\frac{d^{n-1}rt}{{\text{dt}}^{n-1}}+\cdots \\ \cdots +b_{n-1}\frac{\text{dr}t}{\text{dt}}+b_{n}rt\end{array}$

Trong trường hợp này, những hệ thức của các biến trạng thái cũng phải chứa r(t).

Các biến trạng thái được định nghĩa như sau:

$\begin{array}{}{x}_1t=ct-b_{0}rt\\ x_2t{=\dot{}x}_1t-h_{1}rt\\ ⋮⋮\\ x_kt{=\dot{}x}_{k-1}t-h_{k}rt(k=\text{2,3,}\cdots \text{,n})\end{array}$ (4.14)

Với các giá trị ở đó :

$\begin{array}{}=b_1-a_1{b}_0\\ -a_2{b}_0\\ b_2\\ \\ -a_1{h}_14\text{.}\text{15}\\ \\ -a_3{b}_0\\ b_3\\ \\ -a_2{h}_1-a_1{h}_2\\ ⋮⋮\\ \\ -a_k{b}_0\\ b_k\\ \\ -a_{k-1}{h}_1-a_{k-2}{h}_2-\cdots -a_2{h}_{k-1}-a_1{h}_k\\ =\\ =\\ =\\ h_2\\ h_1\\ \\ \begin{array}{}\end{array}\\ \end{array}$

Dùng (14) và (15) ta đưa phương trình vi phân cấp n(4.13) vào n phương trình trạng thái sau đây dưới dạng bình thường :

$\begin{array}{}\dot{x_1}t=x_2t+h_{1}rt\\ \dot{x_2}t=x_3t+h_{2}rt\\ ⋮⋮4\text{.}\text{16}\\ \dot{x_{n-1}}t=x_nt+h_{n-1}rt\\ \dot{x_n}t=-a_n{x}_1t-a_{n-1}{x}_2t-\cdots -a_2{x}_{n-1}t-a_1{x}_nt+h_{n}rt\end{array}$

Phương trình output, có được từ biểu thức thứ nhất của(4.14):

$C(t)=x_1t+b_{0}rt$ (4.17)

Sự biểu diễn bằng ma trận của phương trình trạng thái .

Những phương trình trạng thái của một hệ thống động có thể được viết dưới dạng ma trận, để sử dụng ma trận để trình bày trong các hệ phức tạp làm cho các phương trình có dạng cô đôïng hơn. Phương trình (4.1) viết dưới dạng ma trận thì đơn giản sau:

$\dot{X}t=f\left[Xt,Rt\right]=\text{AX}t+\text{BR}t4\text{.}\text{18}$