5.6 Wiskundige modelle

Wiskundige modelle (nie in caps - ingesluit vir volledigheid)

Inleiding

Thinus and Ronelle is vriende. Thinus gaan haal Ronelle se Fisika antwoordstel, maar wil nie haar punt vir haar sê nie. Hy weet sy hou nie van Wiskunde nie, so hy besluit om haar siel uit te trek. Thinus sê: “Ek het 2 punte meer as jy behaal en die som van ons altwee se punte is gelyk aan 14. Hoeveel het ons elkeen gekry?” Kom ons help Ronelle om haar punt te bereken.

Ons het twee onbekendes, Thinus se punt, wat ons $t$ sal noem, en Ronelle s’n, wat ons $j$ sal noem. Thinus het 2 meer punte as Ronelle. Daarom is,

Ons weet ook beide punte is saam 14. Dus,

Die 2 vergelykings maak 'n stel lineêre (want die hoogste mag is een) gelyktydige vergelykings - en ons weet hoe om dit op te los! Vervang $t$ in die tweede vergelyking om te kry:

Dus,

So, ons sien Thinus het 8 en Ronelle het 6 gekry vir die toets.

Hierdie probleem is 'n voorbeeld van 'n eenvoudige wiskundige model . Ons het 'n probleem geneem en was in staat daartoe om dit wiskundig te formuleer (neer te skryf). Die oplossing van die vergelykings gee dan die oplossing van die probleem.

Probleemoplossing strategie

Die doel van hierdie afdeling is om vir jou die vaardighede te leer om 'n probleem te neem en dit wiskundig te formuleer sodat dit opgelos kan word. Die algemene stappe is:

1. Lees die HELE vraag!
2. Bepaal wat gevra word.
3. Gebruik ('n) veranderlike(s) om die onbekende getalle/hoeveelhede wat gevra word voor te stel, byvoorbeeld $x$ .
4. Herskryf die inligting wat gegee is in terme van die veranderlike(s). Dus, vertaal die woorde in algebraïese taal.
5. Stel 'n vergelyking of 'n stel gelyktydige vergelykings ('n Wiskundige model) op om die onbekende te kry.
6. Los die vergelyking algebraïes op om die oplossing te vind.

Toepassing van wiskundige modellering

Wiskundige modelle

1. Vian het 1 liter van 'n mengsel wat 69% sout bevat. Hoeveel water moet Vian bygooi om die mengsel 50% sout te maak? Skryf jou antwoord as 'n breukdeel van 'n liter.
2. Die diagonaal van 'n reghoek is 25 cm meer as die wydte. Die lengte van die reghoek is 17 cm meer as die wydte. Wat is die afmetings van die reghoek?
3. Die som van 27 en 12 is 73 meer as 'n onbekende getal. Vind die onbekende getal.
4. Die twee kleiner hoeke van 'n reghoekige driehoek is in die verhouding 1:2. Wat is die groottes van die twee hoeke?
5. Werner besit 'n bakkery wat spesialiseer in troukoeke. Vir elke troukoek kos dit Werner R150 vir bestandele, R50 vir ekstras en R5 vir advertering. Werner se troukoeke kos R400 elk. Hoeveel wins maak Werner op 'n troukoek? Druk jou antwoord uit as 'n persentasie van die koste.
6. As 4 keer 'n getal met 7 vermeerder word, is die resultaat 15 minder as die vierkant (kwadraat) van die getal. Vind die getal wat hierdie stelling bevredig deur 'n vergelyking op te stel en dan op te los.
7. Die lengte van 'n reghoek is 2 cm meer as die wydte van die reghoek. Die omtrek van die reghoek is 20 cm. Vind die lengte en breedte van die reghoek.

Opsomming

• 'n Lineêre vergelyking is 'n vergelyking waar die hoogste mag van die veranderlike (letter, byvoorbeeld $x$ ) 1(een) is. 'n Lineêre vergelyking het op die meeste een oplossing.
• 'n Kwadratiese vergelyking is 'n vergelyking waar die hoogste mag van die veranderlike 2 is. 'n Kwadratiese vergelyking het op die meeste 2 oplossings.
• 'n Eksponensiële vergelyking het in die algemeen die onbekende veranderlike in die mag. Die algemene vorm van 'n eksponensiële vergelyking is: $k{a}^{(x+p)}=m$
• 'n Lineêre ongelykheid is soorgelyk aan 'n lineêre vergelyking en met die hoogste mag van die veranderlike gelyk aan 1. Wanneer jy weerskante van 'n ongelykheid deel of vermenigvuldig met 'n negatiewe getal, draai die rigting van die ongelykheid om. Jy kan lineêre ongelykhede oplos met dieselfde metodes as lineêre vergelykings
• Wanneer 2 onbekende veranderlikes opgelos moet word, moet jy 2 vergelyking gebruik en hierdie vergelykings staan bekend as gelyktydige vergelykings. Daar is twee maniere waarop jy gelyktydige lineêre vergelykings kan oplos: grafies en algebraïes. Om die vergelykings grafies op te los, trek jy 'n grafiek van elke vergelyking en die oplossing sal die koördinate van die snypunt van die grafieke wees. Om die oplossing algebraïes te vind, los jy een vergelyking op vir een veranderlike en stel dan daardie oplossing in die ander vergelyking in om die ander veranderlike se waarde te vind.
• Lettervergelykings is vergelykings waar jy verskeie letters (veranderlikes) het en jy herrangskik die vergelyking om die oplossing te vind in terme van een van die letters (veranderlikes)
• Wiskundige modellering is waar ons 'n vergelyking of 'n stel vergelykings opstel om 'n probleem wiskundig voor te stel. Die oplossing van die vergelykings gee dan die oplossing van die probleem.

Einde van hoofstuk probleme

1. Wat is die wortels van die kwadratiese vergelyking $x^2-3x+2=0$ ?
2. Wat is die oplossing van die vergelyking $x^2+x=6$ ?
3. In die vergelyking $y=2x^2-5x-18$ , wat is die waarde van $x$ when $y=0$ ?
4. Marlé het 5 meer CD's as Natalie. Rulof het twee keer soveel as Marlé. Saam het hulle 63 CD's. Hoeveel het elke persoon afsonderlik?
5. Sewe agtstes van 'n getal is 5 meer as 'n derde van die getal. Vind die getal.
6. 'n Man hardloop na 'n telefoon en terug in 15 minute. Sy spoed na die telefoon is 5 m/s en sy spoed terug is 4 m/s. Wat is die afstand na die foon?.
7. Los die ongelykheid op en antwoord dan die vrae: $\frac{x}{3}-14>14-\frac{x}{4}$
   1. As $x\in \mathbb{R}$ , skryf die oplossing in intervalnotasie.
   2. as $x\in \mathbb{Z}$ en $x<51$ , skryf die oplossing as 'n stel heelgetalle.
8. Los op vir $a$ : $\frac{1-a}{2}-\frac{2-a}{3}>1$
9. Los op vir $x$ : $x-1=\frac{42}{x}$
10. Los op vir $x$ and $y$ : $7x+3y=13$ en $2x-3y=-4$