1.7 Benadering van wortelgetalle

Inleiding

Jy behoort reeds te weet wat die $n$ de magswortel van 'n getal is. Indien die $n$ de magswortel van 'n getal nie as 'n rasionale getal geskryf kan word nie, noem ons dit 'n $\mathit{wortelgetal}$ . Byvoorbeeld, $\sqrt{2}$ en $\sqrt[3]{6}$ is wortelgetalle, maar $\sqrt{4}$ is nie 'n wortelgetal nie, aangesien ons dit kan vereenvoudig tot die rasionale getal 2.

In hierdie hoofstuk gaan ons slegs wortelgetalle van die vorm $\sqrt[n]{a}$ ondersoek, waar $n$ 'n positiewe heelgetal en $a$ enige positiewe getal is, byvoorbeeld $\sqrt{7}$ en $\sqrt[3]{5}$ . Dit is algemeen dat $n=2$ en daarom skryf ons $\sqrt{a}$ in plaas van $\sqrt[2]{a}$ want dit is makliker om te lees.

Dit is soms nuttig om 'n wortelgetal te benader sonder om 'n sakrekenaar te gebruik. Ons wil, byvoorbeeld, kan benader waar $\sqrt{3}$ op die getallelyn lê. Met 'n sakrekenaar kan ons bereken $\sqrt{3}=1,73205...$ en $\sqrt{3}$ is dus tussen 1 en 2. Om sonder 'n sakrekenaar te bepaal waar ander wortelgetalle, soos $\sqrt{18}$ , op die getallelyn lê, moet jy eers die volgende verstaan:

Gebruik jou sakrekenaar om hierdie stelling te toets vir 'n paar getalle.

Hoe kan ons hierdie reël gebruik om $\sqrt{18}$ te benader? Eerstens, weet ons dat $18<25$ . Met ons reël weet ons nou ook dat $\sqrt{18}<\sqrt{25}$ . Aangesien $5^2=25$ , is $\sqrt{25}=5$ en ons weet dat $\sqrt{18}<5$ . Nou het ons reeds 'n beter idee van waar $\sqrt{18}$ op die getallelyn voorkom.

Ons kan nou dieselfde reël gebruik, maar hierdie keer met 18 aan die regterkant. Aangesien $16<18$ en deur die reël te gebruik, weet ons dat $\sqrt{16}<\sqrt{18}$ . Maar ons weet ook dat 16 'n volkome vierkant is en $\sqrt{16}=4$ . Dus weet ons dat $4<\sqrt{18}$ .

Met hierdie twee stappe weet ons nou dat $\sqrt{18}$ tussen 4 en 5 lê. 'n Sakrekenaar sal jou wys dat $\sqrt{18}=4,1231...$ wat bevestig dat ons reg is! Die basiese idee is om volkome vierkante naby aan 18 te gebruik om te bepaal waar dit op die getallelyn lê. Ons het die grootste volkome vierkant kleiner as 18 gevind, naamlik $4^2=16$ , en die kleinste volkome vierkant groter as 18, naamlik $5^2=25$ . Hier is 'n kort oorsig van wat 'n volkome vierkant en 'n volkome derdemag is:

Om dit makliker te maak om ons reël te gebruik, kan ons 'n lys van volkome vierkante en derdemagte saamstel.

Gegee die wortelgetal $\sqrt[3]{52}$ , behoort jy te kan sien dat dit iewers tussen 3 en 4 lê op die getallelyn, aangesien $\sqrt[3]{27}=3$ en $\sqrt[3]{64}=4$ en 52 tussen 27 en 64 is. Jou sakrekenaar sal dit bevestig: $\sqrt[3]{52}=3,73...$ .

Hoofstukoefeninge

1. Vind twee opeenvolgende heelgetalle wat weerskante van $\sqrt{7}$ lê op die getallelyn. Kliek hier vir die oplossing
2. Vind twee opeenvolgende heelgetalle wat weerskante van $\sqrt{15}$ lê op die getallelyn. Kliek hier vir die oplossing