0.1 Hàm chuyển và sơ đồ khối của hệ thống  (Page 2/6)

Xem phương trình vi phân với hệ số thực hằng, mô tả sự tương quan giữa input và output của hệ tuyến tính không thay đổi theo thời gian.

$\frac{d^{n}c(t)}{{\text{dt}}^n}+a_n\frac{d^{n-1}c(t)}{{\text{dt}}^{n-1}}+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}+a_2\frac{\text{dc}(t)}{\text{dt}}+a_{1}c(t)$

$=b_{m+1}\frac{d^{m}r(t)}{{\text{dt}}^m}+b_m\frac{d^{m-1}r(t)}{{\text{dt}}^{m-1}}+\text{.}\text{.}\text{.}+b_2\frac{\text{dr}(t)}{\text{dt}}+b_{1}r(t)$ (2.5)

Các hệ số a1,a2,…..an và b1, b2…bn là hằng thực vànm.

Một khi r(t) với tto và những điều kiện đầu của c(t) và các đạo hàm của nó được xác định tại thời điểm đầu t=t0, thì output c(t) với tt0 sẽ được xác định bởi phương trình (2.5). Nhưng, trên quan điểm phân giải và thiết kế hệ thống, phương pháp dùng phương trình vi phân để mô tả hệ thống thì rất trở ngại. Do đó, phương trình (2.5) ít khi được dùng trong dạng ban đầu để phân tích và thiết kế.

Thực quan trọng để nhớ rằng, mặc dù những chương trình có hiệu quả trên máy tính digital thì cần thiết để giải các phương trình vi phân bậc cao, nhưng triết lý căn bản của lý thuyết điều khiển hệ tuyến tính là: các kỹ thuật phân giải và thiết kế sẽ tránh các lời giải chính xác của hệ phương trình vi phân, trừ khi các lời giải trên máy tính mô phỏng được đòi hỏi.

Để được hàm chuyển của hệ tuyến tính mô tả bởi phương trình (2.5) , ta lấy biến đổi Laplace ở cả hai vế, với sự giả định các điều kiện đầu là zero.

(Sn+anSn-1+…+a2S+a1)C(S)=(bm+1Sm+bmSm-1+…+b2S+b1)R(S) (2.6)

Hàm chuyển: $G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_{m+1}{S}^m+b_m{S}^{m-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+b_{2}S+b_1}{S^n+a_n{S}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{2}S+a_1}$ (2.7)

 Có thể tóm tắt các tính chất của hàm chuyển như sau:

*Hàm chuyển chỉ được định nghĩa cho hệ tuyến tính không thay đổi theo thời gian.

* Hàm chuyển giữa một biến vào và một biến ra của hệ được định nghĩa là biến đổi Laplace của đáp ứng xung lực. Măt khác, hàm chuyển là tỷ số của biến đổi Laplace của output và input.

* Khi xác định hàm chuyển, tất cả điều kiện đầu đều đặt zero.

* Hàm chuyển thì độc lập với input của hệ.

* Hàm chuyển là một hàm biến phức S. Nó không là hàm biến thực theo thời gian, hoặc bất kỳ một biến nào được dùng như một biến độc lập.

• Khi một hệ thuộc loại dữ liệu vào digital, việc mô tả nó bằng các phương trình vi phân sẽ tiện lợi hơn. Và hàm chuyển trở thành một hàm biến phức Z. Khi đó, biến đổi Z sẽ được sử dụng.

Hàm chuyển của hệ đa biến.

Định nghĩa của hàm chuyển dễ được mở rộng cho một hệ thống với nhiều input và nhiều output. Một hệ như vậy được xem là hệ đa biến. Phương trình (2.5) cũng được để mô tả sự tương quan giữa các input và output của nó.

Khi xét sự tương quan giữa một input và một output, ta giả sử các input khác là zero. Rồi dùng nguyên lý chồng chất (super position) cho một hệ tuyến tính, để xác định một biến số ra nào đó do hậu quả của tất cả các biếùn vào tác đôïng đồng thời, bằng cách cộng tất cả các output do từng input tác động riêng lẽ.

Một cách tổng quát, nếu một hệ tuyến tính có p input và có q output, hàm chuyển giữa output thứ i và input thứ j được định nghĩa là:

Gij(s) = $\frac{C_i(s)}{R_j(s)}$ (2.8)

Với Rk(s)=0 ; k=1,2...p ; k j

Lưu ý :phương trình (2.8) chỉ được định nghĩa với input thứ j, các input khác đều zero.

Nếu các input tác đôïng đồng thời, biến đổi Laplace của output thứ i liên hệ với biến đổi Laplace của tất cả các input theo hệ thức .