Vierhoeke en poligone  (Page 2/2)

Vierkant

ʼn Vierkant is ʼn rombus met al vier sye ewe lank en al vier hoeke gelyk aan 90 ${}^{\circ }$ .

ʼn Opsomming van die eienskappe van ʼn vierkant:

• Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
• Al vier sye is ewe lank.
• Al vier die hoeke is ${90}^{\circ }$ .
• Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
• Die hoeklyne halveer mekaar met hoeke van ${90}^{\circ }$ .
• Diagonale is ewe lank.
• Diagonale halveer beide pare teenoorstaande hoeke (d.w.s. hulle is almal ${45}^{\circ }$ ).

Vlieër

ʼn Vlieër is ʼn vierhoek met twee pare aangrensende sye ewe lank.

ʼn Oposmming van die eienskappe van ʼn vlieër is:

• Twee pare aangrensende sye is ewe lank.
• Een paar teenoorstaande hoeke (die hoeke tussen die ongelyke sye) is ewe groot.
• Een diagonaal halveer die ander een en hierdie diagonaal halveer ook een paar teenoorstaande hoeke.
• Diagonale sny mekaar reghoekig.

Reghoeke is ʼn spesiale geval (ʼn deelversameling) van die parallelogramme. Reghoeke is parallelogramme met alle hoeke regte hoeke. Vierkante is ʼn spesiale geval (deelversameling) van die reghoeke. Vierkante is reghoeke met al vier sye ewe lank. So, alle vierkante is parallelogramme én reghoeke. As jy gevra word om te bewys dat ʼn vierhoek ʼn parallelogram is, is dit genoeg om aan te toon dat beide pare teenoorstaande sye parallel is. Maar, as jy gevra word om te bewys dat ʼn vierhoek ʼn vierkant is, dan moet jy ook wys dat al die hoeke regte hoeke is én dat al die sye ewe lank is.

Veelhoeke

Veelhoeke is oral rondom ons. ʼn Stopteken het die vorm van ʼn agthoek, m.a.w. ʼn agthoekige veelhoek. Die heuningkoek van ʼn bynes bestaan uit heksagonale selle. Die oppervlak van ʼn tafel is dikwels ʼn reghoek.

In hierdie afdeling sal jy leer van gelykvormige veelhoeke.

Gelykvormigheid tussen veelhoeke

Bespreking: gelykvormige driehoeke

Gebruik die diagram om die tabel in te vul en beantwoord die vrae wat daarop volg.

1. Wat kan jy sê oor jou berekening van: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}$ , $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$ , $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}$ ?
2. Wat kan jy sê oor $\widehat{A}$ en $\widehat{D}$ ?
3. Wat kan jy sê oor $\widehat{B}$ en $\widehat{E}$ ?
4. Wat kan jy sê oor $\widehat{C}$ en $\widehat{F}$ ?

As twee veelhoeke gelykvormig is, is die een ʼn vergroting van die ander. Dit beteken dat die veelhoeke dieselfde grootte hoeke sal hê en dat hulle sye in verhouding tot mekaar sal wees.

Die simbool wat ons gebruik om gelykvormigheid aan te dui is $|||$ .

Gelykvormige Veelhoeke

Twee veelhoeke is gelykvormig as:

1. hulle ooreenstemmende hoeke ewe groot is, én
2. hulle ooreenstemmende sye eweredig is (die verhouding van die sylengtes gelyk is.)

Bewys dat die volgende twee veelhoeke gelykvormig is.

1. Bepaal wat gevra word

   Daar word gevra om te bewys dat ʼn paar veelhoeke gelykvormig is. Ons kan dit doen deur te bewys dat die verhouding van ooreenstemmende sye gelyk is en dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is.

2. Ooreenstemmende hoeke

   Die hoeke en hul groottes word gegee, so ons kan bewys dat hulle ewe groot is.

3. Bewys dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is

   Al die hoeke is 90 ${}^{\circ }$ groot en

   $$\begin{array}{ccc}\hfill \widehat{A}& =& \widehat{E}\hfill \\ \hfill \widehat{B}& =& \widehat{F}\hfill \\ \hfill \widehat{C}& =& \widehat{G}\hfill \\ \hfill \widehat{D}& =& \widehat{H}\hfill \end{array}$$
4. Bewys dat die ooreenstemmende sye in dieselfde verhouding is

   Eerstens moet ons kyk watter sye ooreenstem. Die reghoeke het twee lang sye wat gelyk is en twee kort sye wat gelyk is. Ons moet die verhoudings van die lang sye van die twee reghoeke vergelyk en ons moet die verhoudings van die kort sye vergelyk.

   Lang sye, groot reghoek se waardes op die klein reghoek se waardes:

   $$\begin{array}{ccc}\hfill \mathrm{Verhouding}& =& \frac{2L}{L}\hfill \\ & =& 2\hfill \end{array}$$

   Kort sye, groot reghoek se waardes op die klein reghoek se waardes:

   $$\begin{array}{ccc}\hfill \mathrm{Verhouding}& =& \frac{L}{\frac{1}{2}L}\hfill \\ & =& \frac{1}{\frac{1}{2}}\hfill \\ & =& 2\hfill \end{array}$$

   Die verhouding van die ooreenstemmende sye is gelyk, twee in hierdie geval.

5. Finale antwoord

   Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en die verhoudings van die ooreenstemmende sye is gelyk, dus is dieveelhoeke ABCD en EFGH gelykvormig.

As twee vyfhoeke ABCDE en GHJKL gelykvormig is, bepaal die lengtes van die sye en die groottes van die hoeke wat met letters gemerk is:

1. Bepaal wat is gegee

   Daar word aan ons gegee dat ABCDE en GHJKL gelykvormig is. Dit beteken dat:

   $$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{HJ}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{JK}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{KL}}=\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{LG}}$$

   en

   $$\begin{array}{ccc}\hfill \widehat{A}& =& \widehat{G}\hfill \\ \hfill \widehat{B}& =& \widehat{H}\hfill \\ \hfill \widehat{C}& =& \widehat{J}\hfill \\ \hfill \widehat{D}& =& \widehat{K}\hfill \\ \hfill \widehat{E}& =& \widehat{L}\hfill \end{array}$$
2. Bepaal wat is gevra

   Daar word gevra om te bepaal

   1. lengtes $a$ , $b$ , $c$ en $d$ , en
   2. hoeke $e$ , $f$ and $g$ .
3. Besluit hoe om die probleem te benader

   Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en daar is dus geen berekening nodig nie. Daar word aan ons ʼn paar sye $DC$ en $KJ$ gegee wat ooreenstemmend is. $\frac{DC}{KJ}=\frac{4,5}{3}=1,5$ so ons weet dat al die sye van $KJHGL$ 1,5 keer kleiner is as die sylengtes van $ABCDE$ .

4. Bereken lengtes
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \frac{a}{2}=1,5& \therefore & a=2\times 1,5=3\hfill \\ \hfill \frac{b}{1,5}=1,5& \therefore & b=1,5\times 1,5=2,25\hfill \\ \hfill \frac{6}{c}=1,5& \therefore & c=6÷1,5=4\hfill \\ \hfill d=\frac{3}{1,5}& \therefore & d=2\hfill \end{array}$$
5. Bereken hoeke
   $$\begin{array}{ccc}\hfill e& =& {92}^{\circ }\left(\mathsf{ooreenstemmend}\mathsf{tot}\mathsf{H}\right)\hfill \\ \hfill f& =& {120}^{\circ }\left(\mathsf{ooreenstemmend}\mathsf{tot}\mathsf{D}\right)\hfill \\ \hfill g& =& {40}^{\circ }\left(\mathsf{ooreenstemmend}\mathsf{tot}\mathsf{E}\right)\hfill \end{array}$$
6. Skryf die finale antwoord neer
   $$\begin{array}{ccc}\hfill a& =& 3\hfill \\ \hfill b& =& 2,25\hfill \\ \hfill c& =& 4\hfill \\ \hfill d& =& 2\hfill \\ \hfill e& =& {92}^{\circ }\hfill \\ \hfill f& =& {120}^{\circ }\hfill \\ \hfill g& =& {40}^{\circ }\hfill \end{array}$$

Gelykvormigheid van gelyksydige driehoeke

Werk in pare en toon dat alle gelyksydige driehoeke gelykvormig is.

Veelhoeke gemeng

1. Vind die onbekende waardes in elke geval. Gee redes.

   

2. Vind die hoeke en lengtes wat met letters gemerk is in die volgende figure:

   

Ondersoek: definieer poligone

Ondersoek verskillende maniere om poligone te definieer. Jy behoort spesiale aandag te gee aan die volgende poligone:

• Gelykbenige driehoeke, gelyksydige driehoeke, reghoekige driehoeke
• Vlieërs, parallelogramme, reghoeke, rombusse, vierkante, trapesiums

Neem in oorweging hoe die figure in hierdie boek gedefinieer is en watter alternatiewe definisies daar bestaan. Byvoorbeeld, ʼn driehoek is ʼn driesydige poligoon of ʼn driehoek is ʼn figuur met drie sye en drie hoeke. Driehoeke kan geklassifiseer word volgende hulle sye of volgens hulle hoeke. Kan mens ook vierhoeke op hierdie manier klassifiseer? Watter ander name is daar vir hierdie figure? Byvoorbeeld, vierhoeke kan ook genoem word tetragone.