0.5 Tính ổn định của hệ thống  (Page 2/4)

Vậy (6.7) trở thành:

$G(s)=\frac{-1}{s+1}+\frac{7}{s+2}+\frac{-6}{s+3}$ (6.8).

Bây giờ ta có thể dùng bảng biến đổi để tính đáp ứng xung lực của hệ thống.

g(t) =L-1[G(s)].

g(t) = -L-1 $\left[\frac{1}{s+1}\right]$ +7L-1 $\left[\frac{1}{s+2}\right]$ -6L-1 $\left[\frac{1}{s+3}\right]$ (6.9)

g(t) = -e-t + 7e-2t -6e-3t. (6.10)

* Thí dụ 6.3: bài toán tương tự như trên, với hàm chuyển như sau:

$G(s)=\frac{s^2+\mathrm{9s}+\text{19}}{(s+1)(s+2)(s+4)}$ (6.11)

$G(s)=\frac{\text{11}}{3(s+1)}-\frac{5}{2(s+2)}-\frac{1}{6(s+4)}$ (6.12)

g(t) = $\frac{\text{11}}{3}$ e-t - $\frac{5}{2}$ e-2t - $\frac{1}{6}$ e-4t. (6.13)

* Thí dụ 6.4:

$G(s)=\frac{1}{(s+1{)}^2(s+2)}$

Khai triển phân số từng phần:

$G(s)=\frac{K_{\text{11}}}{s+1}+\frac{K_{\text{12}}}{(s+1{)}^2}+\frac{K_{\text{21}}}{s+2}$

$K_{\text{11}}=\frac{d}{\text{ds}}{\left[(s+1{)}^{2}G(s)\right]}_{S=-1}=\frac{d}{\text{ds}}{\left[\frac{1}{s+2}\right]}_{S=-1}=-1$

$K_{\text{12}}={\left[(s+1{)}^{2}G(s)\right]}_{S=-1}=1$

$K_{\text{21}}={\left[(s+2)G(s)\right]}_{S=-2}=1$

$\Rightarrow G(s)=-\frac{1}{s+1}+\frac{1}{(s+1{)}^2}+\frac{1}{s+2}$

Biến đổi Laplace ngược : g(t) = - e-t + t e-t + e-2t.

Mặt phẵng phức và sự ổn định của hệ thống

1. hàm chuyễn là một hàm hữu tỷ, bao gồm tỷ số của những đa thức theo biến số phức s.

$G(s)=\frac{b_m\sum _{i=0}^m\frac{b_i}{b_m}{s}^i}{\sum _{i=0}^n{a}_i{s}^i}=\frac{m\prod _{i-1}^ms+z_i}{\prod _{i=1}^ns+p_i}$ (6.14)

$$ Trong đó các (s+zi ) là những thừa số của đa thức tử và ( s+pi ) là những thừa số của đa thức mẫu.

a) Những giá trị của s làm cho trị tuyệt đối của |G(s)| bằng zero thì gọi là các zero của G(s).

b) Những giá trị của s làm cho trị tuyệt đối của |G(s)| tiến tới vô cực thì gọi là các cực (pole) của G(s).

* Thí dụ 6.5 : Xem một hệ thống có hàm chuyễn

$G(s)=\frac{{\mathrm{2s}}^2-\mathrm{2s}-4}{s^3+{\mathrm{5s}}^2+\mathrm{8s}+6}$

Có thể viết lại:

$G(s)=\frac{2(s+1)(s-2)}{(s+3)(s+1+j)(s+1-j)}$ (6.16)

G(s) có các zero tại s = -1 và s = 2

G(s) có các cực tại s = -3 ; s = -1-j và s = -1+j

Cực và zero là những số phức, được xác định bởi hai biến số s = ? + j?. Một để biểu diễn phần thực và một để biểu diễn phần ảo cho số phức.

Một cực hay một zero có thể được biểu diễn trong tọa độ vuông góc. Trục hoành chỉ trục thực và trục tung chỉ trục ảo. Mặt phẳng xác địnhbởi hệ trục này gọi là mặt phẳng phức hoặc mặt phẳng s.

H.6-2

Nữa mặt phẵng mà trong đó <0 gọi là nữa trái của mặt phẵng s. và nữa kia trong đó >0 gọi là nữa phải của mặt phẵng s.

Vị trí của một cực trong mặt phẳng s được kí hiệu bằng dấu (X) và vị trí một zero bằng dấu (o).

2. Ở trên ta thấy đáp ứng xung lực của một hệ thống tuyến tính không thay đổi theo thới gian thì gồm tổng các hàm expo theo thời gian, mà các số mũ của chúng là nghiệm của phương trình đặc trưng.

Vậy để đảm bảo hàm xung lực giãm theo hàm expo theo thời gian thì các nghiệm của phương trình đặc trưng phải có phần thực âm.

Nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống cũng là cực của hàm chuyễn.

Vậy có thể kết luận rằng, điều kiện cần để một hệ ổn định là các cực của hàm chuyển phải nằm ở nữa trái của mặt phẵng s.

Trục ảo, bao gồm gốc tọa độ, thì thuộc về vùng bất ổn.

H.6-3

* Thí dụ 6.5 :

Xem một hệ thống có hàm chuyễn mà các cực ở tại -1 và -5 và các zero ở tại 1 và -2

H.6-4

Các cực đều nằm nữa trái mặt phẵng s. vậy hệ thống ổn định. Mặc dù có một zero nằm ở nữa phải, nhưng đều đó không tác động lên tính ổn định của hệ thống.

Các phương pháp xác định tính ổn định của hệ thống

Ta đã thấy tính ổn định của một hệ tự kiểm tuyến tính không đổi theo thời gian có thể xét bằng cách khảo sát đáp ứng xung lực, hoặc tìm vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s. Nhưng các tiêu chuẩn ấy thường là khó thực hiện trong thực tế. Thí dụ, đáp ứng xung lực có được bằng cách lấy biến đổi Laplace ngược của hàm chuyễn, nhưng không phải lúc nào cũng đơn giãn. Còn việc tìm nghiệm của phương trình bậc cao chỉ có thể nhờ vào máy tính.